Аттрактор Плыкина

03.02.2021

Аттрактор Плыкина — пример динамической системы на диске, максимальный аттрактор которой гиперболичен. В частности, этот пример структурно устойчив, как удовлетворяющий аксиоме A Смейла.

Конструкция

Аттрактор Плыкина строится как фактор диффеоморфизма тора, являющегося DA-диффеоморфизмом. А именно, диффеоморфизм Аносова A = ( 2 1 1 1 ) 3 {displaystyle A=left({egin{smallmatrix}2&11&1end{smallmatrix}} ight)^{3}} тора T 2 = R 2 / Z 2 {displaystyle T^{2}=mathbb {R} ^{2}/mathbb {Z} ^{2}} сохраняет точки ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 / 2 ) , ( 1 / 2 , 0 ) , ( 1 / 2 , 1 / 2 ) {displaystyle (0,0),(0,1/2),(1/2,0),(1/2,1/2)} , являющиеся неподвижными для отображения I : x ↦ − x {displaystyle I:xmapsto -x} . Более того, можно провести DA-конструкцию, построив коммутирующий с I диффеоморфизм f, для которого эти точки становятся отталкивающими, причём отображение в окрестности этих точек является чистой (растягивающей) гомотетией.

Фактор тора по действию инволюции I {displaystyle I} — это двумерная сфера (а соответствующее накрытие — двулистное с ветвлением в четырёх точках), и коммутирующее с I {displaystyle I} отображение f {displaystyle f} спускается до диффеоморфизма сферы с четырьмя отталкивающими неподвижными точками. Перенос одной из них на бесконечность (позволяющий перейти к отображению диска в себя) заканчивает построение примера Плыкина.