Подстановки Эйлера

03.02.2021

Подстановки Эйлера — подстановки, приводящие интегралы вида ∫ R ( x , a x 2 + b x + c ) d x {displaystyle int R(x,{sqrt {ax^{2}+bx+c}})dx} , где R ( x , a x 2 + b x + c ) {displaystyle R(x,{sqrt {ax^{2}+bx+c}})} — рациональная функция, к интегралам от рациональных функций. Предложены Л. Эйлером в 1768 году.

Подстановки

Первая подстановка

Используется тогда, когда a > 0 {displaystyle a>0} . Производится замена:
a x 2 + b x + c = ± t ± a x {displaystyle {sqrt {ax^{2}+bx+c}}=pm tpm {sqrt {a}}x}

Вторая подстановка

Используется тогда, когда c > 0 {displaystyle c>0} . Производится замена:
a x 2 + b x + c = ± x t ± c {displaystyle {sqrt {ax^{2}+bx+c}}=pm xtpm {sqrt {c}}}

Третья подстановка

Используется тогда, когда подкоренное выражение имеет два действительных корня. Производится замена:
a x 2 + b x + c = ± t ( x − λ ) {displaystyle {sqrt {ax^{2}+bx+c}}=pm t(x-lambda )} , где λ {displaystyle lambda } — один из корней.

Интересные факты

По воспоминаниям ученика Ландау А. И. Ахиезера, тот крайне негативно относился к использованию данных подстановок:

<…> он [Ландау] предложил мне вычислить <…> интеграл от рациональной дроби. <…> я вычислил, не используя стандартных подстановок Эйлера, и это меня спасло, ибо, как я понял впоследствии, Ландау не терпел их и считал, что каждый раз нужно использовать какой-нибудь искусственный прием, что собственно, я и сделал.

— Воспоминания о Л. Д. Ландау