Винеровская теория нелинейных систем

Винеровская теория нелинейных систем — подход к решению задач анализа и синтеза нелинейных систем с постоянными параметрами, при котором в качестве математической модели нелинейной системы рассматривается функционал, который ставит в соответствие каждой функции (входному сигналу системы за рассматриваемое время) число (мгновенный выходной сигнал системы).

Пояснения

Н. Винер впервые применил описание нелинейных систем при помощи явного описания зависимости между входом и выходом при помощи теории рядов Вольтерры. Этот подход сводит задачу описания системы с заданным классом входных сигналов к задаче построения функционала, заданного на некотором классе функций. В основе винеровского метода лежит описание аналитических функционалов с помощью ряда Вольтерры:

y ( t ) = h 0 + ∫ η h 1 ( τ ) x ( t − τ ) d τ + ∫ η ∫ η h 2 ( τ 1 , τ 2 ) x ( t − τ 1 ) x ( t − τ 2 ) d τ 1 d τ 2 + . . . {displaystyle y(t)=h_{0}+int limits _{eta }h_{1}( au )x(t- au ),d au +int limits _{eta }int limits _{eta }h_{2}( au _{1}, au _{2})x(t- au _{1})x(t- au _{2}),d au _{1}d au _{2}+...} ,

где — η {displaystyle eta } область интегрирования, то есть область, на которой определена функция x(t). Фреше доказал, что любой непрерывный функционал y [ x ( t ) ] {displaystyle y[x(t)]} , определенный на множестве функций x ( t ) {displaystyle x(t)} , областью определения которых является интервал [ a , b ] {displaystyle [a,b]} , может быть представлен интегралами Вольтерры. Бриллиант доказал эту теорему для бесконечного интервала.

Суть винеровского описания состоит в том, что вместо явного выражения для абстрактной системы отыскивается метод её аппроксимации, который начинается с простых элементов, а затем при постепенном усложнении он даёт возможность аппроксимировать систему с желаемой точностью. Для описания системы по существу необходимо знание ряда ядер вида h n ( τ 1 , . . . τ n ) {displaystyle h_{n}( au _{1},... au _{n})} для n = 1 , 2 , . . . {displaystyle n=1,2,...} .

Решение задачи

Н. Винер использует в качестве входного сигнала изучаемой нелинейной системы винеровский процесс. В этом случае функциональный ряд можно представить в виде суммы ортогональных функционалов различных степеней. Построение этого ряда производится следующим образом: функционал нулевой степени есть константа, абсолютная величина квадрата этой константы равна 1, таким образом нормированная константа равна 1 или −1. Рассмотрим теперь функционал 1-й степени вида:

∫ − ∞ ∞ h 1 ( τ ) x ( t − τ ) d τ + h 0 {displaystyle int limits _{-infty }^{infty }h_{1}( au )x(t- au ),d au +h_{0}} .

Он должен быть ортогонален всем функционалам 0-й степени. Умножение функционала 1-й степени на функционал 0-й степени осуществляется по формуле:

∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ h 1 ( τ ) x ( t − τ ) d τ + h 0 ] K d τ = 0 {displaystyle int limits _{-infty }^{infty }{Bigl [}int limits _{-infty }^{infty }h_{1}( au )x(t- au ),d au +h_{0}{Bigr ]}Kd au =0} .

Здесь первый член равен нулю. Все выражение равно нулю, только если h 0 = 0 {displaystyle h_{0}=0}