Главная
Теорема Леви в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.
Формулировка
Пусть { X n } n = 1 ∞ {displaystyle {X_{n}}_{n=1}^{infty }} последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины X n {displaystyle X_{n}} , где n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N} } , символом φ n ( t ) {displaystyle varphi _{n}(t)} . Тогда если X n → X {displaystyle X_{n} o X} по распределению при n → ∞ {displaystyle n o infty } , и φ ( t ) {displaystyle varphi (t)} — характеристическая функция X {displaystyle X} , то
φ n ( t ) → φ ( t ) ∀ t ∈ R {displaystyle varphi _{n}(t) o varphi (t)quad forall tin mathbb {R} } .Обратно, если φ n ( t ) → φ ( t ) ∀ t ∈ R {displaystyle varphi _{n}(t) o varphi (t);forall tin mathbb {R} } , где φ ∈ C ( 0 ) {displaystyle varphi in C(0)} — функция действительного аргумента, непрерывная в нуле, то φ ( t ) {displaystyle varphi (t)} является характеристической функцией некоторой случайной величины X {displaystyle X} , и
X n → X {displaystyle X_{n} o X} по распределению при n → ∞ {displaystyle n o infty } .Замечание
Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если φ n ( t ) → φ ( t ) ∀ t ∈ R {displaystyle varphi _{n}(t) o varphi (t);forall tin mathbb {R} } , где φ n ( t ) {displaystyle varphi _{n}(t)} — характеристическая функция X n {displaystyle X_{n}} , и φ ( t ) {displaystyle varphi (t)} — характеристическая функция X {displaystyle X} , то X n → X {displaystyle X_{n} o X} по распределению при n → ∞ {displaystyle n o infty } . Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют методом характеристических функций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.