Однородный многогранник

Однородный многогранник — многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками, и он вершинно транзитивен (транзитивен относительно вершин, а также изогонален, то есть имеется движение, переводящее вершину в любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны, и многогранник имеет высокую степень зеркальной и вращательной симметрии.

Однородные многогранники можно разделить на выпуклые формы с гранями в виде выпуклых правильных многоугольников и звёздчатые формы. Звёздчатые формы имеют грани в виде правильных звёздчатых многоугольников, вершинных фигур или обоих видов вместе.

Список включает:

• все 75 непризматических однородных многогранников;
• некоторых представителей бесконечного множества призм и антипризм;
• один специальный случай, многогранник Скиллинга с пересекающимися рёбрами.

В 1970-м году советским ученым Соповым доказано, что существует только 75 однородных многогранников, не входящих в бесконечные серии призм и антипризм. Джон Скиллинг (John Skilling) открыл ещё один многогранник, ослабив условие, что ребро может принадлежать только двум граням. Некоторые авторы не считают этот многогранник однородным, поскольку некоторые пары рёбер совпадают.

Не включены:

• 40 потенциальных однородных многогранников с вырожденными вершинными фигурами, имеющих пересекающиеся рёбра (не перечислены Коксетером);
• Однородные мозаики (бесконечные многогранники)
  • 11 евклидовых однородных мозаик с выпуклыми гранями
  • 14 евклидовых однородных мозаик с невыпуклыми гранями
  • Бесконечное число однородных мозаик на гиперболической плоскости.

Нумерация

Используются четыре схемы нумерации однородных многогранников, различающихся буквами:

• [C] Коксетер с соавторами (1954). Список содержит выпуклые виды с номерами от 15 до 32, три призматических вида (номера 33—35) и невыпуклые виды (номера 36—92).
• [W] Веннинджер (1974). Список содержит 119 фигур: номера 1—5 для платоновых тел, 6—18 для архимедовых тел, 19—66 для звёздчатых видов, включая 4 правильных невыпуклых многогранника и 67—119 для невыпуклых однородных многогранников.
• [K] Kaleido (программа, 1993). Список содержит 80 фигур, номера сгруппированы по симметрии: 1—5 представляют бесконечные серии призматических форм с диэдральной симметрией, 6—9 с тетраэдральной симметрией, 10—26 с октаэдральной симметрией, 46—80 с икосаэдральной симметрией.
• [U] Mathematica (программа, 1993). В программе, в общем, используется та же нумерации, что и в программе Kaleido, только первые 5 призматических вида перенесены в конец списка, так что непризматические виды получили номера 1—75.

Список многогранников

Выпуклые формы перечислены в порядке степени вершинных конфигураций от 3 граней/вершин и далее, и по увеличению сторон у грани. Это упорядочение позволяет показать топологическую схожесть.

Выпуклые однородные многогранники

Однородные звёздчатые многогранники

Особый случай

(*): В Большом биплосконосом биромбобидодекаэдре 120 из 240 рёбер принадлежат четырём граням. Если эти 120 рёбер считать как две пары совпадающих рёбер, где каждое ребро принадлежит только двум граням, то всего будет 360 рёбер и эйлерова характеристика становится равной −88. Ввиду этой вырожденности рёбер многогранник не всеми признаётся как однородный.

Обозначения в колонках

• U# — Однородные номера: U01—U80 (Тетраэдр первый, Призмы с номерами 76+)
• K# — Kaleido software номера: K01—K80 (Kn = Un-5 для n = 6 to 80) (призмы 1—5, тетраэдр и далее 6+)
• W# — Модели Магнуса Веннинджера: W001—W119
  • 1—18 — 5 выпуклых правильных и 13 выпуклых полуправильных
  • 20—22, 41 — 4 невыпуклые правильные
  • 19—66 — 48 звёздчатых форм/соединений (нерегулярные не даны в этом списке)
  • 67—109 — 43 невыпуклых остроносых однородных многогранников
  • 110—119 — 10 невыпуклых плосконосых однородных многогранников
• χ {displaystyle chi } — эйлерова характеристика. Однородные мозаики на плоскости соответствуют топологии тора с эйлеровой характеристикой ноль.
• Плотность — плотность многогранника представляет число оборотов многогранника вокруг центра. Число отсутствует для неориентируемых многогранников и для гемиполиэдров (многогранников, имеющих грани, проходящие через центр многогранника), для которых нет чёткого определения плотности.
• Замечание о рисунках вершинных фигур:
  • Светлые отрезки представляют «вершинную фигуру» многогранника. Цветные грани включены в рисунок вершинной фигуры, чтобы видеть их связи. Некоторые пересекающиеся грани нарисованы визуально неверно, поскольку визуально они не показывают, какие части находится впереди.