Главная
Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.
Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперёд заданному комплексному числу.
История
Была опубликована Ю. В. Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек).
Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных». Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций». Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций.
Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим; в литературе на европейских языках теорема известна как теорема Казорати — Вейерштрасса.
Формулировка
Каково бы ни было ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} , в любой окрестности существенно особой точки z 0 {displaystyle z_{0}} функции f ( z ) {displaystyle f(z)} найдётся хотя бы одна точка z 1 {displaystyle z_{1}} , в которой значение функции f ( z ) {displaystyle f(z)} отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на ε {displaystyle varepsilon } .
Доказательство
Предположим, что теорема неверна, т.е.
∃ B ∈ C ∃ ε > 0 ∃ η 0 > 0 : ∀ z : | z − z 0 | < η 0 {displaystyle exists Bin mathbb {C} qquad exists varepsilon >0qquad exists eta _{0}>0:qquad forall z:|z-z_{0}|<eta _{0}} | f ( z ) − B | > ε {displaystyle |f(z)-B|>varepsilon }Рассмотрим вспомогательную функцию ψ ( z ) = 1 f ( z ) − B {displaystyle psi (z)={frac {1}{f(z)-B}}} . В силу нашего предположения функция ψ ( z ) {displaystyle psi (z)} определена и ограничена в η 0 {displaystyle eta _{0}} -окрестности точки z 0 {displaystyle z_{0}} . Следовательно z 0 {displaystyle z_{0}} - устранимая особая точка ψ ( z ) {displaystyle psi (z)} . Это означает, что разложение функции ψ ( z ) {displaystyle psi (z)} в окрестности точки z 0 {displaystyle z_{0}} имеет вид:
ψ ( z ) = ( z − z 0 ) m φ ∼ ( z ) φ ∼ ( z ) ≠ 0 {displaystyle psi (z)=(z-z_{0})^{m}{stackrel {sim }{varphi }}(z)qquad {stackrel {sim }{varphi }}(z) eq 0} .Тогда, в силу определения функции ψ ( z ) {displaystyle psi (z)} , в данной окрестности точки z 0 {displaystyle z_{0}} имеет место следующее разложение функции f ( z ) {displaystyle f(z)} :
f ( z ) = ( z − z 0 ) − m φ ( z ) + B {displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{-m}varphi (z)+B} ,где аналитическая функция φ ( z ) = 1 φ ∼ ( z ) {displaystyle varphi (z)={frac {1}{{stackrel {sim }{varphi }}(z)}}} ограничена в η 0 {displaystyle eta _{0}} -окрестности точки z 0 {displaystyle z_{0}} . Но такое разложение означает, что точка z 0 {displaystyle z_{0}} является полюсом или правильной точкой функции f ( z ) {displaystyle f(z)} , и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.
■
Эквивалентным образом эта теорема может быть переформулирована следующим образом:
- Если точка z 0 {displaystyle z_{0}} является существенно особой для функции f ( z ) {displaystyle f(z)} , аналитической в некоторой проколотой окрестности U = { z : 0 < | z − z 0 | < ε } {displaystyle U={z:,0<|z-z_{0}|<varepsilon }} , то для произвольного комплексного числа w {displaystyle w} можно найти последовательность { z n } ⊂ U {displaystyle {z_{n}}subset U} , сходящуюся к z 0 {displaystyle z_{0}} , для которой { f ( z n ) } → w {displaystyle {f(z_{n})} o w} .
- множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в C {displaystyle mathbb {C} } .
Обобщения
Теорему Сохоцкого обобщает Большая теорема Пикара, которая утверждает, что аналитическая функция в окрестности существенно особой точки принимает все значения кроме, быть может, одного значения.