Тело сечений

Тело сечений — конструкция, дающая тело для данного тела евклидова пространства.

Определение было дано Лютваком в 1988 году. Эта конструкция сыграла заметную роль в решении задачи Буземана — Петти.

Определение

Предположим, что K {displaystyle K} — выпуклое симметричное тело в d {displaystyle d} -мерном евклидовом пространстве. Тогда тело сечений для тела K {displaystyle K} есть тело, ограниченное гиперповерхностью, образованной всеми векторами вида

S ⁡ ( K ∩ u ⊥ ) ⋅ u , {displaystyle mathop {S} (Kcap u^{perp })cdot u,}

где u {displaystyle u} — единичный вектор, u ⊥ {displaystyle u^{perp }} — гиперплоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная u {displaystyle u} , а S {displaystyle mathop {S} } — площадь, точнее ( d − 1 ) {displaystyle (d-1)} -мерный объём.

Свойства

• Теорема Буземана. Пусть K {displaystyle K} есть выпуклое симметричное тело в d {displaystyle d} -мерном евклидовом пространстве с центром в начале координат. Тогда тело сечений K {displaystyle K} также выпукло.