В математике антиэрмитовой или косоэрмитовой матрицей называется квадратная матрица A, эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:
A † = − A , {displaystyle A^{dagger }=-A,}или поэлементно:
a i , j = − a j , i ¯ , {displaystyle a_{i,j}=-{overline {a_{j,i}}},}где через x ¯ {displaystyle {overline {x}}} обозначено комплексное сопряжение числа x {displaystyle x} .
Свойства
- Матрица B эрмитова тогда и только тогда, когда матрица i B антиэрмитова. Отсюда следует, что если A — антиэрмитова, то матрицы ±iA эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица A может быть представлена в виде A = i B, где B эрмитова. Таким образом, свойства антиэрмитовых матриц могут быть выражены при помощи свойств эрмитовых и наоборот.
- Матрица A антиэрмитова тогда и только тогда, когда X † A † Y = − X † A Y {displaystyle X^{dagger }A^{dagger }Y=-X^{dagger }AY} для любых векторов X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} (форма X † A Y {displaystyle X^{dagger }AY} — антиэрмитова).
- Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).
- Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.
- Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если A {displaystyle A} антиэрмитова, то A 2 {displaystyle A^{2}} эрмитова.
- Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.
- Любую квадратную матрицу можно представит как сумму эрмитовой и антиэрмитовой:
- Матрица A {displaystyle A} антиэрмитова тогда и только тогда, когда её экспонента e A {displaystyle e^{A}} унитарна.
- Антиэрмитовы матрицы образуют алгебру Ли u ( n ) {displaystyle {mathfrak {u}}(n)} группы Ли U ( n ) {displaystyle U(n)} .
- Для любого комплексного числа λ {displaystyle lambda } такого, что | λ | = 1 {displaystyle |lambda |=1} , существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами U {displaystyle U} , не имеющих собственных чисел равных a {displaystyle a} , и антиэрмитовыми матрицами A {displaystyle A} , задаваемое формулами Кэли: