Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




07.01.2022


07.01.2022


06.01.2022


03.01.2022


28.12.2021





Яндекс.Метрика





Антиэрмитова матрица

23.12.2021

В математике антиэрмитовой или косоэрмитовой матрицей называется квадратная матрица A, эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:

A † = − A , {displaystyle A^{dagger }=-A,}

или поэлементно:

a i , j = − a j , i ¯ , {displaystyle a_{i,j}=-{overline {a_{j,i}}},}

где через x ¯ {displaystyle {overline {x}}} обозначено комплексное сопряжение числа x {displaystyle x} .

Свойства

  • Матрица B эрмитова тогда и только тогда, когда матрица i B антиэрмитова. Отсюда следует, что если A — антиэрмитова, то матрицы ±iA эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица A может быть представлена в виде A = i B, где B эрмитова. Таким образом, свойства антиэрмитовых матриц могут быть выражены при помощи свойств эрмитовых и наоборот.
  • Матрица A антиэрмитова тогда и только тогда, когда X † A † Y = − X † A Y {displaystyle X^{dagger }A^{dagger }Y=-X^{dagger }AY} для любых векторов X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} (форма X † A Y {displaystyle X^{dagger }AY} — антиэрмитова).
  • Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).
  • Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.
  • Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если A {displaystyle A} антиэрмитова, то A 2 {displaystyle A^{2}} эрмитова.
  • Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.
  • Любую квадратную матрицу можно представит как сумму эрмитовой и антиэрмитовой:
M = M h + M a {displaystyle M=M_{h}+M_{a}} , где M h = 1 2 ( M + M † ) {displaystyle M_{h}={frac {1}{2}}(M+M^{dagger })} — эрмитова, M a = 1 2 ( M − M † ) {displaystyle M_{a}={frac {1}{2}}(M-M^{dagger })} — антиэрмитова.
  • Матрица A {displaystyle A} антиэрмитова тогда и только тогда, когда её экспонента e A {displaystyle e^{A}} унитарна.
  • Антиэрмитовы матрицы образуют алгебру Ли u ( n ) {displaystyle {mathfrak {u}}(n)} группы Ли U ( n ) {displaystyle U(n)} .
  • Для любого комплексного числа λ {displaystyle lambda } такого, что | λ | = 1 {displaystyle |lambda |=1} , существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами U {displaystyle U} , не имеющих собственных чисел равных a {displaystyle a} , и антиэрмитовыми матрицами A {displaystyle A} , задаваемое формулами Кэли:
U = λ ( A − I ) ( A + I ) − 1 , {displaystyle U=lambda (A-I)(A+I)^{-1},} A = λ ( a I + U ) ( a I − U ) − 1 , {displaystyle A=lambda (aI+U)(aI-U)^{-1},} где I {displaystyle I} — единичная матрица. В частности, при λ = − 1 {displaystyle lambda =-1} : U = ( I − A ) ( I + A ) − 1 , {displaystyle U=(I-A)(I+A)^{-1},} A = ( I − U ) ( I + U ) − 1 . {displaystyle A=(I-U)(I+U)^{-1}.}