Статистическая оценка — это статистика, которая используется для оценивания неизвестных параметров распределений случайной величины.
Определение
Например, если X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} — это независимые случайные величины, с заданным нормальным распределением N ( μ , 1 ) {displaystyle N(mu ,1)} , то μ {displaystyle mu } будет средним арифметическим результатов наблюдений.
Задача статистической оценки формулируется так:
Пусть ξ = ( ξ 1 , … , ξ n ) {displaystyle xi =(xi _{1},ldots ,xi _{n})} — выборка из генеральной совокупности с распределением F ξ ( x , θ ) {displaystyle F_{xi }(x, heta )} . Распределение F ξ {displaystyle F_{xi }} имеет известную функциональную форму, но зависит от неизвестного параметра θ {displaystyle heta } . Этот параметр может быть любой точкой заданного параметрического множества Θ {displaystyle Theta } . Используя статистическую информацию, содержащуюся в выборке ξ {displaystyle xi } , сделать выводы о настоящем значении параметра θ {displaystyle heta } .
Точечная оценка
Оценка является случайной величиной так как представляет собой функцию от случайных величин X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} :
θ ^ = θ ^ ( X 1 , … , X n ) {displaystyle {hat { heta }}={hat { heta }}(X_{1},ldots ,X_{n})}Функция распределения оценки зависит от распределения величины X {displaystyle X} (и от параметра θ {displaystyle heta } ), а также от размера выборки n {displaystyle n} .
Оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} может обладать рядом «хороших» свойств:
- Состоятельная оценка — при увеличении числа опытов оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} сходится по вероятности к параметру θ {displaystyle heta }
- Несмещённая оценка — если математическое ожидание оценки совпадает с оцениваемым параметром M [ θ ^ ] = θ {displaystyle M[{hat { heta }}]= heta }
- Эффективная оценка — если дисперсия несмещённой оценки D [ θ ^ ] {displaystyle D[{hat { heta }}]} является минимальной по сравнению с другими оценками
На практике не всегда есть возможность получать оценки с заданными свойствами, из-за чего приходится довольствоваться компромиссными вариантами.
Интервальная оценка
Для оценивания промежутка, на котором лежит оцениваемый параметр θ {displaystyle heta } , можно использовать следующие методы:
- Метод доверительных интервалов
- Метод фидуциальных интервалов
- Достоверный Байесовский интервал (англ. Credible interval)