Арбелос (греч. άρβυλος — сапожный нож) — плоская геометрическая фигура, образованная большим полукругом, из которого вырезаны два меньших, диаметры которых лежат на диаметре большого и разбивают его на две части. Точнее, пусть A, B и C — точки на одной прямой, тогда три полуокружности с диаметрами AB, BC и AC, расположенные по одну сторону от этой прямой, ограничивают арбелос.
Свойства
Теорема Паппа Александрийского
Даны арбелос ABC (точка A лежит между точками B и C) и окружности ω 1 {displaystyle omega _{1}} , ω 2 {displaystyle omega _{2}} ,…, ω n {displaystyle omega _{n}} ( n ∈ N {displaystyle nin N} ), причем окружность ω 1 {displaystyle omega _{1}} касается дуг AB, BC и AC, а при n ≥ 2 {displaystyle ngeq 2} окружность ω n {displaystyle omega _{n}} касается дуг AB и BC и окружности ω n − 1 {displaystyle omega _{n-1}} .
Тогда при любом натуральном n {displaystyle n} расстояние от центра окружности ω n {displaystyle omega _{n}} до прямой BC равно произведению диаметра этой окружности на её номер n {displaystyle n} :
h n = n d n {displaystyle h_{n}=nd_{n}} .Площадь
Площадь арбелоса равна площади круга с диаметром HA.
S = 1 4 π | H A | 2 {displaystyle S={frac {1}{4}}pi |HA|^{2}}Прямоугольник
Отрезок BH пересекает полуокружность BA в точке D. Отрезок CH пересекает полуокружность AC в точке E. Тогда DHEA является прямоугольником.
Касательные
Прямая DE касается полуокружности BA в точке D и полуокружности AC в точке E.
Замечание
В «Леммах» также рассматриваются Архимедовы окружности-близнецы (см. рис.).