Числа Сабита

Числа Сабита — натуральные числа, задающиеся формулой 3 ⋅ 2 n − 1 {displaystyle 3cdot 2^{n}-1} для целых неотрицательных n . {displaystyle n.}

Первые числа Сабита — это

2 , 5 , 11 , 23 , 47 , 95 , 191 , 383 , 767 , 1535 , 3071 , 6143 , 12287 , 24575 , 49151 , 98303 , 196607 , 393215 , 786431 , 1572863 , … {displaystyle 2;,;5;,;11;,;23;,;47;,;95;,;191;,;383;,;767;,;1535;,;3071;,;6143;,;12287;,;24575;,;49151;,;98303;,;196607;,;393215;,;786431;,;1572863;,;ldots } (последовательность A055010 в OEIS.)

Последовательность названа в честь иракского математика девятого века Сабит Ибн Курра, исследовавшим такие числа.

Свойства

• Двоичное представление числа Сабита 3 ⋅ 2 n − 1 {displaystyle 3cdot 2^{n}-1} имеет длину n + 2. {displaystyle n+2.}
• Некоторые числа Сабита являются простыми:

2 , 5 , 11 , 23 , 47 , 191 , 383 , 6143 , 786431 , 51539607551 , 824633720831 , … {displaystyle 2;,;5;,;11;,;23;,;47;,;191;,;383;,;6143;,;786431;,;51539607551;,;824633720831;,;ldots } (последовательность A007505 в OEIS.)

• По состоянию на апрель 2008 года известны следующие значения n , {displaystyle n,} дающие простые числа:

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 11 , 18 , 34 , 38 , 43 , 47 , 55 , 64 , 76 , {displaystyle 0;,;1;,;2;,;3;,;4;,;6;,;7;,;11;,;18;,;34;,;38;,;43;,;47;,;55;,;64;,;76;,} 94 , 103 , 143 , 206 , 216 , 306 , 324 , 391 , 458 , 470 , 827 , 1274 , 3276 , 4204 , 5134 , {displaystyle 94;,;103;,;143;,;206;,;216;,;306;,;324;,;391;,;458;,;470;,;827;,;1274;,;3276;,;4204;,;5134;,} 7559 , 12676 , 14898 , 18123 , 18819 , 25690 , 26459 , 41628 , 51387 , 71783 , 80330 , 85687 , 88171 , 97063 , {displaystyle 7559;,;12676;,;14898;,;18123;,;18819;,;25690;,;26459;,;41628;,;51387;,;71783;,;80330;,;85687;,;88171;,;97063;,} 123630 , 155930 , 164987 , 234760 , 414840 , 584995 , 702038 , 727699 , 992700 , 1201046 , 1232255 , 2312734 , 3136255 , … {displaystyle 123630;,155930;,;164987;,;234760;,;414840;,;584995;,;702038;,;727699;,;992700;,;1201046;,;1232255;,;2312734;,;3136255;,;ldots } (последовательность A002235 в OEIS.)

• Простые числа Сабита для n > 164987 {displaystyle n>164987} были найдены в ходе распределённых вычислений «321 search». Наибольшее из известных простых чисел Сабита ( 3 ⋅ 2 4235414 − 1 {displaystyle 3cdot 2^{4235414}-1} ) длиной в 1274988 знаков и было найдено Dylan Bennett в апреле 2008 года. Прошлым рекордом было число 3 ⋅ 2 3136255 − 1 {displaystyle 3cdot 2^{3136255}-1} найденное Paul Underwood в марте 2007 года.

Связь с дружественными числами

Если и n , {displaystyle n,} и n − 1 {displaystyle n-1} являются числами Сабита, и если 9 ⋅ 2 2 n − 1 − 1 {displaystyle 9cdot 2^{2n-1}-1} — простое, то пара дружественных чисел может быть найдена как

2 n ( 3 ⋅ 2 n − 1 − 1 ) ( 3 ⋅ 2 n − 1 ) {displaystyle 2^{n}(3cdot 2^{n-1}-1)(3cdot 2^{n}-1)} и 2 n ( 9 ⋅ 2 2 n − 1 − 1 ) . {displaystyle 2^{n}(9cdot 2^{2n-1}-1).}

Числа Сабита второго рода

• Числа, записываемые формулой 3 ⋅ 2 n + 1 {displaystyle 3cdot 2^{n}+1} называются числами Сабита второго рода.

• Первые числа Сабита второго рода: 4 , 7 , 13 , 25 , 49 , 97 , 193 , 385 , 769 , 1537 , 3073 , 6145 , 12289 , 24577 , 49153 , 98305 , 196609 , 393217 , 786433 , 1572865 , . . . {displaystyle 4,7,13,25,49,97,193,385,769,1537,3073,6145,12289,24577,49153,98305,196609,393217,786433,1572865,...}

• Первые простые числа Сабита второго рода (последовательность A039687 в OEIS): 7 , 13 , 97 , 193 , 769 , 12289 , 786433 , 3221225473 , 206158430209 , 6597069766657 , 221360928884514619393 , . . . {displaystyle 7,13,97,193,769,12289,786433,3221225473,206158430209,6597069766657,221360928884514619393,...}

• Первые значения n {displaystyle n} , при которых 3 ⋅ 2 n + 1 {displaystyle 3cdot 2^{n}+1} простые: 1 , 2 , 5 , 6 , 8 , 12 , 18 , 30 , 36 , 41 , 66 , 189 , 201 , 209 , 276 , 353 , 408 , 438 , 534 , 2208 , 2816 , 3168 , 3189 , 3912 , . . . {displaystyle 1,2,5,6,8,12,18,30,36,41,66,189,201,209,276,353,408,438,534,2208,2816,3168,3189,3912,...} (последовательность A2253 в OEIS).