Гиперболическое множество

27.03.2021

В теории динамических систем, говорят, что диффеоморфизм f {displaystyle f} многообразия M {displaystyle M} гиперболичен на инвариантном множестве Λ {displaystyle Lambda } , если касательное расслоение над Λ {displaystyle Lambda } допускает непрерывное разложение в прямую сумму,

T Λ M = E u ⊕ E s , {displaystyle T_{Lambda }M=E^{u}oplus E^{s},}

причём подрасслоения E u {displaystyle E^{u}} и E s {displaystyle E^{s}} инвариантны относительно динамики, и вектора E u {displaystyle E^{u}} растягиваются, а вектора E s {displaystyle E^{s}} сжимаются под действием динамики:

‖ f n ( v ) ‖ ≤ c 1 λ n ‖ v ‖ ∀ n ∈ N , v ∈ E s , {displaystyle |f^{n}(v)|leq c_{1},lambda ^{n}|v|quad forall nin mathbb {N} ,,vin E^{s},} ‖ f n ( v ) ‖ ≥ c 2 μ n ‖ v ‖ ∀ n ∈ N , v ∈ E u , {displaystyle |f^{n}(v)|geq c_{2},mu ^{n}|v|quad forall nin mathbb {N} ,,vin E^{u},}

где c 1 , c 2 > 0 {displaystyle c_{1},c_{2}>0} и μ > 1 > λ > 0 {displaystyle mu >1>lambda >0} — константы.

Также в этом случае говорят, что Λ {displaystyle Lambda } — гиперболическое инвариантное множество отображения f {displaystyle f} .

Линейные системы

Линейная система ОДУ называется гиперболической, если все её собственные значения (вообще говоря, комплексные) имеют отличные от нуля вещественные части.