Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах

14.03.2021

Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее алгебраическое уравнение степени n ⩾ 5 {displaystyle ngeqslant 5} неразрешимо в радикалах.

Подробности

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух фактах.

  • При степени n {displaystyle n} многочлена больше или равной 5 группой Галуа многочлена может являться группа перестановок S n {displaystyle S_{n}} .
  • При n ⩾ 5 {displaystyle ngeqslant 5} группа перестановок S n {displaystyle S_{n}} не является разрешимой.

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение n {displaystyle n} -й степени при n ⩾ 5 {displaystyle ngeqslant 5} не имеет решения. Если мы допускаем комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона.

Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение x 5 − 5 x 4 − 10 x 3 − 10 x 2 − 5 x − 1 = 0 {displaystyle x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0} имеет корень x = 1 + 2 5 + 4 5 + 8 5 + 16 5 {displaystyle x=1+{sqrt[{5}]{2}}+{sqrt[{5}]{4}}+{sqrt[{5}]{8}}+{sqrt[{5}]{16}}} .

Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.

Явные формулы для степеней меньше пятой

Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Это можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой).

История

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 году Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем.

Их доказательства основывалось на идеях Лагранжа, связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа, она позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры.

Разрешимые типы уравнений

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:

  • Однородное уравнение
  • Возвратное уравнение