Теорема Каулинга

13.03.2021

Теорема Каулинга — теорема о невозможности стационарного осесимметричного МГД-динамо. Другими словами, двумерные или осесимметричные поля скорости проводящей жидкости не могут генерировать постоянно растущее магнитное поле.

Формулировка теоремы

Стационарное осесимметричное динамо невозможно.

Плоский случай

Дипольное поле

В осесимметричном поле существует линия O-типа (нейтральная), на этой линии поле равно нулю.

B = 1 r 3 {displaystyle B={frac {1}{r^{3}}}}

Пусть поле линейно растет с увеличением R

( r o t B → ) φ = ∂ B r ∂ z − ∂ B z ∂ r ≠ 0 ,   j → φ ≠ 0 {displaystyle (mathrm {rot} {vec {B}})_{varphi }={frac {partial B_{r}}{partial z}}-{frac {partial B_{z}}{partial r}} eq 0, {vec {j}}_{varphi } eq 0} ∮ O j → φ d l → = 2 π R j → φ ≠ 0 {displaystyle oint limits _{O}{vec {j}}_{varphi },{vec {dl}}=2pi R{vec {j}}_{varphi } eq 0} ∮ O j → φ d l → = σ ∮ O [ E → + v → × B → c ] d l → {displaystyle oint limits _{O}{vec {j}}_{varphi },{vec {dl}}=sigma oint limits _{O}left[{vec {E}}+{frac {{vec {v}} imes {vec {B}}}{c}} ight],{vec {dl}}}

Пусть [ v → × B → ] ≠ 0 {displaystyle left[{vec {v}} imes {vec {B}} ight] eq 0} , тогда v z B φ − v φ B z ≠ 0 {displaystyle v_{z}B_{varphi }-v_{varphi }B_{z} eq 0} , но на линии O и v φ {displaystyle v_{varphi }} , и B z {displaystyle B_{z}} равны нулю, следовательно, наше предположение неверно, то есть [ v → × B → ] = 0 {displaystyle left[{vec {v}} imes {vec {B}} ight]=0} . Тогда имеем

∮ O j → φ d l → = σ ∮ O E → d l → = σ ∫ r o t E → d s → = − σ c ∫ ∂ B → ∂ t d s → = − σ c d Φ d t {displaystyle oint limits _{O}{vec {j}}_{varphi },{vec {dl}}=sigma oint limits _{O}{vec {E}},{vec {dl}}=sigma int mathrm {rot} {vec {E}},{vec {ds}}=-{frac {sigma }{c}}int {frac {partial {vec {B}}}{partial t}},{vec {ds}}=-{frac {sigma }{c}}{frac {dPhi }{dt}}}

где введено обозначение для потока магнитного поля через контур:

Φ = ∫ 0 R 2 π r B z d r {displaystyle Phi =int limits _{0}^{R}2pi rB_{z},dr}

Таким образом, имеем неравенство

d Φ d t ≠ 0 {displaystyle {frac {dPhi }{dt}} eq 0}

то есть поток нестационарен, что противоречит определению линии О, откуда можно сделать вывод, что первоначальное предположение неверно, и в дипольном поле существование динамо невозможно.

Тороидальное поле

Рассмотрим тороидальное магнитное поле

B φ ≠ 0 {displaystyle B_{varphi } eq 0} d d t ( B φ r ρ ) = c 2 4 π σ ρ r { ∂ ∂ r [ 1 r ∂ ∂ r ( r B φ ) ] + ∂ 2 B φ ∂ z 2 } {displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {B_{varphi }}{r ho }} ight)={frac {c^{2}}{4pi sigma ho r}}left{{frac {partial }{partial r}}left[{frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}left(rB_{varphi } ight) ight]+{frac {partial ^{2}B_{varphi }}{partial z^{2}}} ight}}

где

c 2 4 π σ ρ r {displaystyle {frac {c^{2}}{4pi sigma ho r}}} — коэффициент диффузии.

Сравнивая с уравнением диффузии понимаем, что динамо невозможно.

Существующие динамо

Если условия теоремы не выполняются (то есть поле скорости трёхмерно), то генерация магнитного поля возможна. Существуют многочисленные аналитические и экспериментальные примеры:

  • Динамо Пономаренко — винтовое динамо.
  • ABC-динамо
  • Динамо Гайлитиса — первый успешный динамо-эксперимент.