Тест Хаусмана

13.03.2021

Тест Хаусмана, называемый также тестом Ву-Хаусмана или Дарбина-Ву-Хаусмана — применяемый в эконометрике тест для сравнения моделей, оцененных разными методами, один из которых позволяет получить состоятельные оценки и при нулевой и при альтернативной гипотезе, а другой — только при нулевой гипотезе.

В частности, тест позволяет сравнить оценки метода наименьших квадратов и метода инструментальных переменных. Нулевая гипотеза заключается в том, что факторы модели экзогенны, альтернатива — что эндогенны. В обоих случаях метод инструментальных переменных дает состоятельные оценки (инструменты по определению предполагаются экзогенными). А метод наименьших квадратов дает состоятельные оценки только при экзогенности факторов. Таким образом, если нулевая гипотеза выполнена, то оценки разных методов асимптотически эквиваленты, в противном случае различия между ними будут значимыми. Тем самым тест позволяет оценить экзогенность факторов модели.

Описание теста

Пусть имеются оценки линейной модели методом наименьших квадратов и методом инструментальных переменных. Нулевая гипотеза заключается в том, что обе оценки состоятельны. Это означает, что факторы модели являются экзогенными. Статистика теста равна

( b ^ I V − b ^ O L S ) T ( V ^ b ^ I V − V ^ b ^ O L S ) − 1 ( b ^ I V − b ^ O L S ) {displaystyle ({hat {b}}_{IV}-{hat {b}}_{OLS})^{T}({hat {V}}_{{hat {b}}_{IV}}-{hat {V}}_{{hat {b}}_{OLS}})^{-1}({hat {b}}_{IV}-{hat {b}}_{OLS})}

Данная статистика имеет асимптотическое распределение Хи-квадрат с количеством степеней свободы, равным рангу матрицы V ^ b ^ I V − V ^ b ^ O L S {displaystyle {hat {V}}_{{hat {b}}_{IV}}-{hat {V}}_{{hat {b}}_{OLS}}} , где

V ^ b ^ O L S = s 2 ( X T X ) − 1   ,   V ^ b ^ I V = s 2 ( X T P Z X ) − 1   ,   P Z = Z ( Z T Z ) − 1 Z T   ,   s 2 = E S S / ( n − k ) {displaystyle {hat {V}}_{{hat {b}}_{OLS}}=s^{2}(X^{T}X)^{-1}~,~{hat {V}}_{{hat {b}}_{IV}}=s^{2}(X^{T}P_{Z}X)^{-1}~,~P_{Z}=Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}~,~s^{2}=ESS/(n-k)} .

Если статистика превышает критическое значение, регрессоры модели нельзя считать экзогенными, поэтому лучше использовать метод инструментальных переменных. В противном случае можно считать, что регрессоры не хуже инструментов и применять обычный МНК.

Иногда используется следующий вариант теста. На первом шаге оценивается МНК-регрессия факторов на инструменты. На втором шаге оценивается (также с помощью МНК) регрессия объясняемой переменной на исходные факторы и оценки этих факторов, полученных на первом шаге (или остатки регрессий, полученных на первом шаге). Если коэффициенты при дополнительных переменных совместно значимы (проверяется стандартными тестами — тест Вальда, F-тест, t-статистики), то регрессоры являются эндогенными.