Главная
Бесконечная система линейных алгебраических уравнений — обобщение понятия системы линейных алгебраических уравнений на случай бесконечного множества неизвестных, определённое методами функционального анализа. Оно имеет смысле не над любым полем, а, например, над вещественными и комплексными числами. Также возможно прямолинейное обобщение методами собственно линейной алгебры, отличное от описанного в статье.
Бесконечная система линейных алгебраических уравнений часто появляется в процессе решения разнообразных задач в физике и технике методом неопределённых коэффициентов, например в задачах теплопроводности, определения перигелия движения Луны в астрономии, в задаче определения статического прогиба прямоугольного тела с закреплёнными концами.
Определение
Бесконечной системой линейных алгебраических уравнений называется бесконечное множество алгебраических уравнений первой степени относительно бесконечного множества неизвестных: ∑ k = 1 ∞ a i k x k = b i {displaystyle sum _{k=1}^{infty }a_{ik}x_{k}=b_{i}} , i = 1 , 2 , . . . {displaystyle i=1,2,...} . Решением бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется всякая последовательность чисел { x k } {displaystyle left{x_{k} ight}} , такая, что все ряды ∑ k = 1 ∞ a i k x k {displaystyle sum _{k=1}^{infty }a_{ik}x_{k}} , i = 1 , 2 , . . . {displaystyle i=1,2,...} являются сходящимися к b i {displaystyle b_{i}} . Решение { x k } {displaystyle left{x_{k} ight}} бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется ограниченным, если числа x k {displaystyle x_{k}} образуют ограниченную последовательность.
Удобно рассматривать бесконечные системы линейных алгебраических уравнений в виде: x i − ∑ k = 1 ∞ c i k x k = b i {displaystyle x_{i}-sum _{k=1}^{infty }c_{ik}x_{k}=b_{i}} , i = 1 , 2 , . . . {displaystyle i=1,2,...} , c i k = − a i k + δ i k {displaystyle c_{ik}=-a_{ik}+delta _{ik}} . Бесконечная система линейных алгебраических уравнений называется вполне регулярной, если существует такая положительная постоянная q < 1 {displaystyle q<1} , что ∑ k = 1 ∞ | c i k | ⩽ q {displaystyle sum _{k=1}^{infty }left|c_{ik} ight|leqslant q} .
Вполне регулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное ограниченное решение { x i } {displaystyle left{x_{i} ight}} при любой ограниченной совокупности свободных членов b i {displaystyle b_{i}} . При этом, если b i ⩽ B {displaystyle b_{i}leqslant B} для всех i = 1 , 2 , . . . {displaystyle i=1,2,...} , то | x i | ⩽ B 1 − q {displaystyle left|x_{i} ight|leqslant {frac {B}{1-q}}} .
Бесконечный определитель
В матрице коэффициентов бесконечной линейной системы уравнений можно оставить лишь первые n {displaystyle n} строк и n {displaystyle n} столбцов и составить из них квадратную матрицу размером n × n {displaystyle n imes n} :
A ( n ) = | a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n | {displaystyle A(n)={egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots &a_{1n}a_{21}&a_{22}&cdots &a_{2n}cdots &cdots &cdots &cdots a_{n1}&a_{n2}&cdots &a_{nn}end{vmatrix}}}Обозначим определитель этой матрицы как Δ ( n ) = d e t ( A ( n ) ) {displaystyle Delta (n)=det(A(n))} .
Если существует предел: Δ = lim n → ∞ Δ ( n ) {displaystyle Delta =lim _{n o infty }Delta (n)} , то он называется бесконечным определителем, соответствующим матрице a i j {displaystyle a_{ij}} .
Достаточное условие существования
Представим матрицу a i j {displaystyle a_{ij}} в новом виде, выделив из её всех диагональных членов слагаемое, равное единице:
a i j = | a 11 a 12 ⋯ a 21 a 22 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ | = | c 11 + 1 c 12 ⋯ c 21 c 22 + 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ | {displaystyle a_{ij}={egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots a_{21}&a_{22}&cdots cdots &cdots &cdots end{vmatrix}}={egin{vmatrix}c_{11}+1&c_{12}&cdots c_{21}&c_{22}+1&cdots cdots &cdots &cdots end{vmatrix}}}Для того, чтобы бесконечный определитель матрицы a i j {displaystyle a_{ij}} существовал и обладал свойствами, аналогичными свойствам обычного определителя, достаточно, что бы бесконечный двойной ряд ∑ i , k = 1 ∞ | c i k | {displaystyle sum _{i,k=1}^{infty }|c_{ik}|} сходился.
Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений
Если у матрицы a i j {displaystyle a_{ij}} бесконечной системы линейных алгебраических уравнений существует и не равен нулю бесконечный определитель и все её свободные члены ограничены по модулю (то есть существует положительное число M 1 {displaystyle M_{1}} , такое, что | b k | < M 1 , ∀ k {displaystyle |b_{k}|<M_{1},forall k} ), то эта система имеет единственное ограниченное решение (то есть существует положительное число M 2 {displaystyle M_{2}} , такое, что | x k | < M 1 , ∀ k {displaystyle |x_{k}|<M_{1},forall k} ), определяемое по формулам Крамера:
x k = Δ k Δ {displaystyle x_{k}={frac {Delta _{k}}{Delta }}} ,где Δ k {displaystyle Delta _{k}} - определитель, который получается из определителя Δ {displaystyle Delta } заменой элементов k-го столбца свободными членами.