Уравнение Кортевега — де Фриза

12.03.2021

Уравнение Кортевега — де Фриза (уравнение КдФ, также встречается написание де Вриза, де Фриса, Де Фриса англ. Korteweg–de Vries equation) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году, но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом в 1895 году.

Уравнение имеет вид:

∂ u ∂ t + 6 u ∂ u ∂ x + ∂ 3 u ∂ x 3 = 0 {displaystyle {frac {partial u}{partial t}}+6u{frac {partial u}{partial x}}+{frac {partial ^{3}u}{partial x^{3}}}=0}

Решения

Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:

u ( x , t ) = 2 κ 2 cosh 2 ⁡ [ κ ( x − 4 κ 2 t − x 0 ) ] {displaystyle u(x,t)={frac {2kappa ^{2}}{cosh ^{2}left[kappa (x-4kappa ^{2}t-x_{0}) ight]}}}

где κ {displaystyle kappa } — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость, x 0 {displaystyle x_{0}} — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.

Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн, описываемых эллиптическими интегралами:

x − c t − x 0 = ∫ ( 2 E + c u 2 − 2 u 3 ) − 1 2 d u {displaystyle x-ct-x_{0}=int left(2E+cu^{2}-2u^{3} ight)^{-{frac {1}{2}}}du}

где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.

Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.

Интегралы

Уравнение Кортевега — де Фриза имеет бесконечное множество интегралов движения вида

I n = ∫ P n ( u , ∂ u ∂ x , . . . ) d x {displaystyle I_{n}=int P_{n}left(u,{frac {partial u}{partial x}},... ight)dx}

где P n ( u , ∂ u ∂ x ) {displaystyle P_{n}left(u,{frac {partial u}{partial x}} ight)} — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, в частности:

P 0 = u {displaystyle P_{0}=u} P 1 = u 2 {displaystyle P_{1}=u^{2}} P 2 = u 3 − 1 2 ( ∂ u ∂ x ) 2 {displaystyle P_{2}=u^{3}-{frac {1}{2}}left({frac {partial u}{partial x}} ight)^{2}} P 3 = 1 2 ( 5 u 2 + 5 u ∂ u ∂ x + ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) 2 ) {displaystyle P_{3}={frac {1}{2}}left(5u^{2}+5u{frac {partial u}{partial x}}+left({frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}} ight)^{2} ight)}

Можно показать, что уравнение КдФ является интегрируемой гамильтоновой системой.

Обобщения

При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза, имеющее вид

∂ u ∂ t + 6 u ∂ u ∂ x + ∂ 3 u ∂ x 3 = ν ∂ 2 u ∂ x 2 {displaystyle {frac {partial u}{partial t}}+6u{frac {partial u}{partial x}}+{frac {partial ^{3}u}{partial x^{3}}}= u {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}}

где параметр ν {displaystyle u } характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:

∂ ∂ x ( ∂ u ∂ t + 6 u ∂ u ∂ x + ∂ 3 u ∂ x 3 ) = ± ∂ 2 u ∂ y 2 {displaystyle {frac {partial }{partial x}}left({frac {partial u}{partial t}}+6u{frac {partial u}{partial x}}+{frac {partial ^{3}u}{partial x^{3}}} ight)=pm {frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}}