Модель исправления ошибок

12.03.2021

Модель исправления (коррекции) ошибок (англ. ECM, Error Correction Model) — модель временных рядов, в которой краткосрочная динамика корректируется в зависимости от отклонения от долгосрочной зависимости между переменными. В виде ECM формально можно представить любую модель авторегрессии и распределенного лага (ADL). Однако особо важный смысл это представление имеет для интегрированных временных рядов и тесно связано с понятием коинтеграции. Механизм коррекции ошибок обеспечивает выполнение долгосрочной зависимости между переменными.

Математическая модель

Пусть y t , x t ∼ I ( 1 ) {displaystyle y_{t},x_{t}sim I(1)} , то есть интегрированные ряды первого порядка. Модель исправления ошибок имеет следующий вид:

△ y t = ∑ i = 1 p α i △ y t − i + ∑ i = 0 q β i △ x t − i − γ ( y t − 1 − α L − β L x t − 1 ) + ε t {displaystyle vartriangle y_{t}=sum _{i=1}^{p}alpha _{i}vartriangle y_{t-i}+sum _{i=0}^{q}eta _{i}vartriangle x_{t-i}-gamma (y_{t-1}-alpha _{L}-eta _{L}x_{t-1})+varepsilon _{t}}

где ε t {displaystyle varepsilon _{t}} — стационарный процесс (например, белый шум).

Поскольку по предположению первые разности временных рядов стационарны, то выражение в скобках тоже должно быть стационарным процессом, следовательно, существует долгосрочная зависимость между временными рядами

y t ∗ = α L + β L x t ∗ + u t {displaystyle y_{t}^{*}=alpha _{L}+eta _{L}x_{t}^{*}+u_{t}} ,

где u t {displaystyle u_{t}} — стационарный процесс.

То есть временные ряды коинтегрированы. Таким образом, модель отражает краткосрочную зависимость между изменениями переменных и коррекцию динамики этих рядов в зависимости от величины отклонения (ошибки) от долгосрочной зависимости.

Простейший вариант такой модели, когда p = q = 0 {displaystyle p=q=0}

△ y t = β 0 △ x t − γ ( y t − 1 − α L − β L x t − 1 ) + ε t {displaystyle vartriangle y_{t}=eta _{0}vartriangle x_{t}-gamma (y_{t-1}-alpha _{L}-eta _{L}x_{t-1})+varepsilon _{t}}

В этой модели краткосрочно в среднем изменения зависимой переменной пропорциональны изменению фактора (с учётом стационарной случайной компоненты конечно). Однако, если такая динамика приведет к отклонению от долгосрочной зависимости, то пропорционально этому отклонению корректируется и изменение зависимой переменной. Этот механизм исправления ошибок и гарантирует выполнение долгосрочной зависимости.

Векторная модель исправления ошибок (VEC, VECM)