Вариация (математика)

Вариация (от лат. variation — перемена, изменение) — термин, введённый в математику Ж. Л. Лагранжем в 1762 году в работе «Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines» для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала.

Понятие «вариация» было введено в рамках метода вариаций исследования экстремальных задач, основанного на малых смещениях аргумента и изучения того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и название раздела математики, изучающего данную проблематику — «Вариационное исчисление»).

Связанные определения

Рассмотрим некоторое пространство X {displaystyle X} , на котором задан функционал f ( x ) {displaystyle f(x)} , и V {displaystyle V} — пространство некоторых параметров. Под вариацией аргумента x 0 ∈ X {displaystyle x_{0}in X} , понимают обычно кривую x ( t , v ) {displaystyle x(t,;v)} , где α ⩽ t ⩽ β {displaystyle alpha leqslant tleqslant eta } при α ⩽ 0 {displaystyle alpha leqslant 0} , β ⩾ 0 {displaystyle eta geqslant 0} и v ∈ V {displaystyle vin V} , в пространстве X {displaystyle X} , проходящую через x 0 {displaystyle x_{0}} в определенной близости от ограничений, причём x 0 {displaystyle x_{0}} соответствует значение t = 0 {displaystyle t=0} . Таким образом, когда v {displaystyle v} пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определённое семейство кривых, исходящих из точки x 0 {displaystyle x_{0}} .

В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Ж. Лагранжа, обычно применяются вариации по направлениям, когда V = X {displaystyle V=X} и x ( t , v ) = x 0 + t v {displaystyle x(t,;v)=x_{0}+tv} . В этом случае вариацией называется вектор v {displaystyle v} . Но это не единственный случай вариаций, так в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяются, например, ломаные вариации, игольчатые вариации, вариации, связанные со скользящими режимами.

Выбор пространства вариаций и построение самих вариаций является важнейшим элементом для получения необходимых условий экстремума.