Измерительный мост (мост Уитстона, мостик Витстона, англ. Wheatstone bridge) — электрическая схема или устройство для измерения электрического сопротивления. Предложен в 1833 году Самуэлем Хантером Кристи (англ. Samuel Hunter Christie) и в 1843 году усовершенствован Чарльзом Уитстоном (англ. Charles Wheatstone). Мост Уитстона относится к одинарным мостам в отличие от двойных мостов Томсона. Мост Уитстона — электрическое устройство, механическим аналогом которого являются аптекарские рычажные весы.
Измерение сопротивлений с помощью моста Уитстона
Принцип измерения сопротивления основан на уравнивании потенциала средних выводов двух ветвей (см. рисунок).
Другая ветвь содержит элемент, сопротивление которого может регулироваться ( R 2 {displaystyle R_{2}} ; например, реостат).
Между ветвями (точками B и D; см. рисунок) находится индикатор. В качестве индикатора могут применяться:
- гальванометр;
- нуль-индикатор — прибор, отклонение стрелки которого показывает наличие тока в цепи и его направление, но не величину. На шкале такого прибора отмечено только одно число — ноль;
- вольтметр ( R G {displaystyle R_{G}} принимают равным бесконечности: R G = ∞ {displaystyle R_{G}=infty } );
- амперметр ( R G {displaystyle R_{G}} принимают равным нулю: R G = 0 {displaystyle R_{G}=0} ).
Обычно в качестве индикатора используется гальванометр.
Когда гальванометр показывает ноль, говорят, что наступило «равновесие моста» или «мост сбалансирован». При этом:
- отношение R 2 / R 1 {displaystyle R_{2}/R_{1}} равно отношению R x / R 3 {displaystyle R_{x}/R_{3}} :
откуда
R x = R 2 R 3 R 1 ; {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}};}- разность потенциалов между точками B и D (см. рисунок) равна нулю;
- ток по участку BD (через гальванометр) (см. рисунок) не протекает (равен нулю).
Сопротивления R 1 {displaystyle R_{1}} , R 3 {displaystyle R_{3}} должны быть известны заранее.
Вывод формулы см. ниже.
ТочностьПри плавном изменении сопротивления R 2 {displaystyle R_{2}} гальванометр способен зафиксировать момент наступления равновесия с большой точностью. Если величины R 1 {displaystyle R_{1}} , R 2 {displaystyle R_{2}} и R 3 {displaystyle R_{3}} были измерены с малой погрешностью, величина R x {displaystyle R_{x}} будет вычислена с большой точностью.
В процессе измерения сопротивление R x {displaystyle R_{x}} не должно изменяться, так как даже небольшие его изменения приведут к нарушению баланса моста.
НедостаткиК недостаткам предложенного способа можно отнести:
- необходимость регулирования сопротивления R 2 {displaystyle R_{2}} . На поиски «равновесия» тратится время. Гораздо быстрее измерить несколько параметров цепи и вычислить R x {displaystyle R_{x}} по другой формуле.
Условие баланса моста
Выведем формулу для расчёта сопротивления R x {displaystyle R_{x}} .
Первый способСчитается, что сопротивление гальванометра R G {displaystyle R_{G}} мало настолько, что им можно пренебречь ( R G = 0 {displaystyle R_{G}=0} ). То есть, можно вообразить, что точки B и D соединены (см. рисунок).
Воспользуемся правилами (законами) Кирхгофа. Выберем:
- направления токов — см. рисунок;
- направления обхода замкнутых контуров — по часовой стрелке.
По первому правилу Кирхгофа сумма токов, входящих в точку (узел) равна нулю:
- для точки (узла) B:
- для точки (узла) D:
По второму правилу Кирхгофа сумма напряжений в ветвях замкнутого контура равна сумме ЭДС в ветвях этого контура:
- для контура ABD:
- для контура BCD:
Запишем 4‑е последних уравнения для «сбалансированного моста» (то есть учтём, что I G = 0 {displaystyle I_{G}=0} ):
{ I 3 = I x I 1 = I 2 R 3 ⋅ I 3 = R 1 ⋅ I 1 R x ⋅ I x = R 2 ⋅ I 2 {displaystyle {egin{cases}I_{3}=I_{x}I_{1}=I_{2}R_{3}cdot I_{3}=R_{1}cdot I_{1}R_{x}cdot I_{x}=R_{2}cdot I_{2}end{cases}}}Поделив 4‑е уравнение на 3‑е, получим:
R x ⋅ I x R 3 ⋅ I 3 = R 2 ⋅ I 2 R 1 ⋅ I 1 . {displaystyle {frac {R_{x}cdot I_{x}}{R_{3}cdot I_{3}}}={frac {R_{2}cdot I_{2}}{R_{1}cdot I_{1}}}.}Выразив R x {displaystyle R_{x}} , получим:
R x = R 2 ⋅ I 2 ⋅ R 3 ⋅ I 3 I 1 ⋅ R 1 ⋅ I x . {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}cdot I_{2}cdot R_{3}cdot I_{3}}{I_{1}cdot R_{1}cdot I_{x}}}.}С учётом того, что
{ I 3 = I x I 1 = I 2 {displaystyle {egin{cases}I_{3}=I_{x}I_{1}=I_{2}end{cases}}}получим
R x = R 2 ⋅ R 3 R 1 . {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}cdot R_{3}}{R_{1}}}.} Второй способСчитается, что сопротивление гальванометра R G {displaystyle R_{G}} велико настолько, что точки B и D можно считать не соединёнными (см. рисунок) ( R G = ∞ {displaystyle R_{G}=infty } ).
Введём обозначения:
- φ A {displaystyle varphi _{A}} , φ B {displaystyle varphi _{B}} , φ C {displaystyle varphi _{C}} и φ D {displaystyle varphi _{D}} — соответственно потенциалы точек A, B, C и D, В;
- U A C {displaystyle U_{AC}} — напряжение между точками C и A, В:
- U D B {displaystyle U_{DB}} — напряжение между точками D и B, В:
- R A D C {displaystyle R_{ADC}} — сопротивление участка ADC (последовательное соединение), Ом:
- R A B C {displaystyle R_{ABC}} — сопротивление участка ABC (последовательное соединение), Ом:
- I A D C {displaystyle I_{ADC}} , I A B C {displaystyle I_{ABC}} — токи, протекающие на участках ADC и ABC соответственно, А.
По закону Ома токи I A D C {displaystyle I_{ADC}} , I A B C {displaystyle I_{ABC}} равны:
I A D C = U A C R A D C = U A C R 1 + R 2 ; {displaystyle I_{ADC}={frac {U_{AC}}{R_{ADC}}}={frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}};} I A B C = U A C R A B C = U A C R 3 + R x . {displaystyle I_{ABC}={frac {U_{AC}}{R_{ABC}}}={frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}.}По закону Ома падения напряжения на участках DC и BC равны:
U D C = I A D C ⋅ R 2 ; {displaystyle U_{DC}=I_{ADC}cdot R_{2};} U B C = I A B C ⋅ R x . {displaystyle U_{BC}=I_{ABC}cdot R_{x}.}Потенциалы в точках D и B равны:
φ D = φ C + U D C = φ C + I A D C ⋅ R 2 ; {displaystyle varphi _{D}=varphi _{C}+U_{DC}=varphi _{C}+I_{ADC}cdot R_{2};} φ B = φ C + U B C = φ C + I A B C ⋅ R x . {displaystyle varphi _{B}=varphi _{C}+U_{BC}=varphi _{C}+I_{ABC}cdot R_{x}.}Напряжение между точками D и B равно:
U D B = φ D − φ B = ( φ C + I A D C ⋅ R 2 ) − ( φ C + I A B C ⋅ R x ) = I A D C ⋅ R 2 − I A B C ⋅ R x . {displaystyle U_{DB}=varphi _{D}-varphi _{B}=left(varphi _{C}+I_{ADC}cdot R_{2} ight) -left(varphi _{C}+I_{ABC}cdot R_{x} ight) =I_{ADC}cdot R_{2}-I_{ABC}cdot R_{x}.}Подставив выражения для токов I A D C {displaystyle I_{ADC}} и I A B C {displaystyle I_{ABC}} , получим:
U D B = U A C R 1 + R 2 ⋅ R 2 − U A C R 3 + R x ⋅ R x . {displaystyle U_{DB}={frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}cdot R_{2}-{frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}cdot R_{x}.}Учитывая, что для «сбалансированного моста» U D B = 0 {displaystyle U_{DB}=0} , получим:
0 = U A C R 1 + R 2 ⋅ R 2 − U A C R 3 + R x ⋅ R x . {displaystyle 0={frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}cdot R_{2}-{frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}cdot R_{x}.}Поместив слагаемые по разные стороны от знака равенства, получим:
U A C R 1 + R 2 ⋅ R 2 = U A C R 3 + R x ⋅ R x . {displaystyle {frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}cdot R_{2}={frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}cdot R_{x}.}Сократив U A C {displaystyle U_{AC}} , получим:
R 2 R 1 + R 2 = R x R 3 + R x . {displaystyle {frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}={frac {R_{x}}{R_{3}+R_{x}}}.}Умножив на произведение знаменателей, получим:
R 2 ⋅ ( R 3 + R x ) = R x ⋅ ( R 1 + R 2 ) . {displaystyle R_{2}cdot (R_{3}+R_{x})=R_{x}cdot (R_{1}+R_{2}).}Раскрыв скобки, получим:
R 2 ⋅ R 3 + R 2 ⋅ R x = R x ⋅ R 1 + R x ⋅ R 2 . {displaystyle R_{2}cdot R_{3}+R_{2}cdot R_{x}=R_{x}cdot R_{1}+R_{x}cdot R_{2}.}После вычитания R x ⋅ R 2 {displaystyle R_{x}cdot R_{2}} получим:
R 2 ⋅ R 3 = R 1 ⋅ R x . {displaystyle R_{2}cdot R_{3}=R_{1}cdot R_{x}.}Выразив R x {displaystyle R_{x}} , получим:
R x = R 2 ⋅ R 3 R 1 . {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}cdot R_{3}}{R_{1}}}.}В данном случае мостовая схема рассматривалась, как комбинация двух делителей, а влияние гальванометра считалось пренебрежимо малым.
Схемы подключения
На практике для измерения сопротивления с помощью мостовых схем применяют двухпроводное и четырёхпроводное подключение.
Двухпроводная схема подключения применяется при измерениях сопротивлений величиной выше 10 Ом. К точкам B и C (см. рисунок) подключаются по одному проводу.
Четырёхпроводная схема подключения применяется при измерении сопротивления величиной до 10 Ом. К точкам B и C (см. рисунок) подключаются по два провода. Это позволяет исключить влияние сопротивления проводов на величину измеренного сопротивления R x {displaystyle R_{x}} .
История создания
В 1833 году Самуэль Хантер Кристи (англ. Samuel Hunter Christie) предложил схему, позже получившую название «мост Уитстона».
В 1843 году схема была усовершенствована Чарльзом Уитстоном (англ. Charles Wheatstone) и стала называться «мостом Уитстона».
В 1861 году лорд Кельвин использовал мост Уитстона для измерения малых сопротивлений.
В 1865 году Максвелл с помощью изменённого моста Уитстона измерял силу переменного тока.
В 1926 году Алан Блюмлейн усовершенствовал мост Уитстона и запатентовал. Новое устройство стали называть в честь изобретателя.
Классификация
В промышленности широко применяются уравновешенные и неуравновешенные измерительные мосты.
Работа уравновешенных мостов (наиболее точных) основана на «нулевом методе».
С помощью неуравновешенных мостов (менее точных) измеряемую величину определяют по показаниям измерительного прибора.
Измерительные мосты подразделяются на неавтоматические и автоматические.
В неавтоматических мостах балансирование производится вручную (оператором).
В автоматических балансировка моста происходит с помощью сервопривода по величине и знаку напряжения между точками D и B (см. рисунок).
Применение для измерения неэлектрических величин
Мост Уитстона часто используется для измерения самых разнообразных неэлектрических параметров, например:
- механических деформаций упругих элементов в тензометрии;
- температуры;
- освещённости;
- состава вещества, в том числе влажности и газовом анализе;
- теплопроводности и теплоёмкости и многого другого.
Принцип действия всех этих приборов основан на измерении сопротивления чувствительного резистивного элемента-датчика, сопротивление которого изменяется при изменении воздействующей на него неэлектрической величины. Резистивный датчик (датчики) включается электрически в одно или несколько плеч моста Уитстона и измерение неэлектрической величины сводится к измерению изменения сопротивления датчиков.
Применение моста Уитстона в этих приложениях обусловлено тем, что позволяет измерять относительно малое изменение сопротивления, то есть в случаях когда Δ R x / R x ≪ 1. {displaystyle Delta R_{x}/R_{x}ll 1.}
Обычно в современных измерительных приборах мост Уитстона подключается через аналого-цифровой преобразователь к цифровому вычислительному устройству, например, к микроконтроллеру, обрабатывающему сигнал моста. При обработке, как правило, производится линеаризация, масштабирование с преобразованием в численное значение неэлектрической величины в единицы её измерения, коррекция систематических погрешностей датчиков и измерительной схемы, индикация в удобном и наглядном для пользователя цифровом и/или машинно-графическом виде. Также может производиться статистическая обработка измерений, гармонический анализ и другие виды обработки.
Принцип работы тензометрических измерителей
Тензодатчики тензорезисторы применяются в:
- электронных весах;
- динамометрах
- измерителях давления (манометрах);
- измерителях крутящего момента на валах (торсиометрах);
- измерителях деформации деталей под воздействием механической нагрузки и др.
При этом тензорезисторы, наклеенные на упругие деформируемые детали включаются в плечи моста, а полезным сигналом является напряжение диагонали моста между точками D и B (см. рисунок).
Если выполняется соотношение:
R 1 / R 2 = R 3 / R x , {displaystyle R_{1}/R_{2}=R_{3}/R_{x},}то независимо от напряжения на диагонали моста между точками A и C (напряжения) между точками D и B ( U D B {displaystyle U_{DB}} )) будет равно нулю:
U D B = 0. {displaystyle U_{DB}=0.}Но если R 1 / R 2 ≠ R 3 / R x , {displaystyle R_{1}/R_{2} eq R_{3}/R_{x},} то на диагонали появится ненулевое напряжение («разбаланс» моста), однозначно связанное с изменением сопротивления тензорезистора, и, соответственно, с величиной деформации упругого элемента, при измерении разбаланса моста измеряют деформацию, а так как деформация связана, например, в случае весов, с весом взвешиваемого тела, то и в результате измеряют его вес.
Для измерения знакопеременных деформаций помимо тензодатчиков часто используют пьезоэлектрические датчики. Последние в этих приложениях вытеснили тензодатчики благодаря лучшим техническим и эксплуатационным характеристикам. Недостатком пьезодатчиков является непригодность их для измерения медленных или статических деформаций.
Измерения других неэлектрических величин
Описанный принцип измерения деформации с помощью тензорезисторов в тензометрии сохраняется для измерения иных неэлектрических величин с применением других резистивных датчиков, сопротивление которых изменяется под воздействием неэлектрической величины.
Измерение температурыВ этих приложениях применяются резистивные датчики, находящиеся в тепловом равновесии с изучаемым телом, сопротивление датчиков изменяется при изменении их температуры. Также применяются датчики не контактирующие непосредственно с изучаемым телом, а измеряющие интенсивность теплового излучения от объекта, например, болометрические пирометры.
В качестве термочувствительных датчиков обычно используются резисторы, изготовленные из металлов — термометры сопротивления, имеющие положительный температурный коэффициент сопротивления, или полупроводниковые — терморезисторы с отрицательным температурным коэффициентом сопротивления.
Косвенно через измерение температуры также производится измерение теплопроводности, теплоёмкости, скорости потоков газов и жидкостей в термоанемометрах и измерение иных неэлектрических величин, связанных с температурой, например, концентрации компонента в газовой смеси с помощью термокаталитических датчиков и датчиков теплопроводности в газовой хроматографии.
Измерение потоков излученияВ фотометрах применяются датчики, изменяющие своё сопротивление в зависимости от освещенности — фоторезисторы. Также существуют резистивные датчики для измерения потоков ионизирующих излучений.
Модификации
Используя мост Уитстона, можно с большой точностью измерять сопротивление.
Различные модификации моста Уитстона позволяют измерять другие физические величины:
- ёмкость;
- индуктивность;
- импеданс;
- концентрацию газов;
- и другое.
Прибор explosimeter (англ.) позволяет определить, превышена ли допустимая концентрация горючих газов в воздухе.
Мост Кельвина (англ. Kelvin bridge), также известный как мост Томсона (англ. Thomson bridge), позволяет измерять малые сопротивления, изобретён Томсоном.
Прибор Максвелла позволяет измерять силу переменного тока, изобретён Максвеллом в 1865 году, усовершенствован Блюмлейном около 1926 года.
Мост Максвелла (англ. Maxwell bridge) позволяет измерять индуктивность.
Мост Фостера (англ. Carey Foster bridge) позволяет измерять малые сопротивления, описан Фостером (англ. Carey Foster) в документе, опубликованном в 1872 году.
Делитель напряжения Кельвина-Варли (англ. Kelvin–Varley divider) построен на основе моста Уитстона.
Промышленные образцы
В СССР и России Краснодарским заводом измерительных приборов выпускались следующие марки измерительных мостов с ручной наводкой на равновесие:
- ММВ (измерения сопротивления проводников постоянному току);
- Р333 (измерение по схеме одинарного моста, определение места повреждения кабеля по схемам петли Муррея и Варлея);
- МО-62.