Гипергеометрическая функция

Гипергеометрическая функция (функция Гаусса) определяется внутри круга | z | < 1 {displaystyle |z|<1} как сумма гипергеометрического ряда

F ( a , b ; c ; z ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ [ ∏ l = 0 k − 1 ( a + l ) ( b + l ) ( 1 + l ) ( c + l ) ] z k = 1 + a b c z 1 ! + a ( a + 1 ) b ( b + 1 ) c ( c + 1 ) z 2 2 ! + … , {displaystyle F(a,b;c;z)=1+sum _{k=1}^{infty }left[prod _{l=0}^{k-1}{(a+l)(b+l) over (1+l)(c+l)} ight]z^{k}=1+{frac {ab}{c}}{frac {z}{1!}}+{frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{frac {z^{2}}{2!}}+dots ,}

а при | z | > 1 {displaystyle |z|>1} — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка, называемого гипергеометрическим уравнением.

История

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2 n + 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 2 n . {displaystyle {frac {1cdot 3cdot 5cdot ldots cdot (2n+1)}{2cdot 4cdot ldots cdot 2n}}.}

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом. В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернхард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Гипергеометрическое уравнение

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера z ( 1 − z ) d 2 u d z 2 + [ c − ( a + b + 1 ) z ] d u d z − a b u = 0 , {displaystyle z(1-z){frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[c-(a+b+1)z]{frac {du}{dz}}-abu=0,} где параметры a, b и c могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и ∞ {displaystyle infty } .

Когда параметр c {displaystyle c} не равен нулю и отрицательным целым числам ( c ≠ 0 , − 1 , − 2 , … ) {displaystyle (c eq 0,-1,-2,ldots )} регулярное в нуле решение уравнения Эйлера будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

2 F 1 ( a , b ; c ; z ) ≡ F ( a , b ; c ; z ) = 1 + a b c z 1 ! + a ( a + 1 ) b ( b + 1 ) c ( c + 1 ) z 2 2 ! + … . {displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)equiv F(a,b;c;z)=1+{frac {ab}{c}}{frac {z}{1!}}+{frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{frac {z^{2}}{2!}}+dots .}

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение (символ Похгаммера)

( p ) n = Γ ( p + n ) Γ ( p ) , {displaystyle (p)_{n}={frac {Gamma (p+n)}{Gamma (p)}},}

где Γ {displaystyle Gamma } — гамма-функция. Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

F ( a , b ; c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n z n ( c ) n n ! . {displaystyle F(a,b;c;z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(a)_{n}(b)_{n}z^{n}}{(c)_{n}n!}}.}

Обозначение 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) {displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)} указывают, что есть два параметра, a и b, «идущие в числитель», и один, c, «идущий в знаменатель». На границе | z | = 1 {displaystyle |z|=1} ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы a + b − c < 0 {displaystyle a+b-c<0} , условно сходится при z ≠ 1 {displaystyle z eq 1} , 0 ≤ a + b − c < 1 {displaystyle 0leq a+b-c<1} и расходится, если a + b − c ≥ 1 {displaystyle a+b-cgeq 1} . Второе линейно независимое решение дифференциального уравнения Эйлера имеет вид

  z 1 − c F ( b − c + 1 , a − c + 1 ; 2 − c ; z ) {displaystyle z^{1-c}F(b-c+1,a-c+1;2-c;z)}

Оно имеет особую точку при z = 0 {displaystyle z=0} и справедливо при всех неположительных c {displaystyle c} ( c = 0 , − 1 , − 2 , … ) {displaystyle (c=0,-1,-2,ldots )} .

Интегральное представление для гипергеометрической функции при Re ( c ) > Re ( b ) > 0 {displaystyle { ext{Re}}(c)>{ ext{Re}}(b)>0} (формула Эйлера) может быть записано следующим образом:

F ( a , b ; c ; z ) = Γ ( c ) Γ ( b ) Γ ( c − b ) ∫ 0 1 t b − 1 ( 1 − t ) c − b − 1 ( 1 − t z ) − a d t , {displaystyle F(a,b;c;z)={Gamma (c) over Gamma (b)Gamma (c-b)}int limits _{0}^{1}t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-tz)^{-a},dt,}

где Γ ( x ) {displaystyle Gamma (x)} — гамма-функция Эйлера. Это выражение представляет собой однозначную аналитическую функцию на комплексной z {displaystyle z} -плоскости с разрезом вдоль действительной оси от 1 {displaystyle 1} до ∞ {displaystyle infty } и обеспечивает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость для гипергеометрического ряда, сходящегося лишь при | z | < 1 {displaystyle left|z ight|<1} .

Частные значения при z = 1 / 2 {displaystyle z=1/2}

Вторая теорема суммации Гаусса выражается формулой:

2 F 1 ( a , b ; 1 2 ( 1 + a + b ) ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 2 ( 1 + a + b ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + b ) ) . {displaystyle _{2}F_{1}left(a,b;{ frac {1}{2}}left(1+a+b ight);{ frac {1}{2}} ight)={frac {Gamma ({ frac {1}{2}})Gamma ({ frac {1}{2}}left(1+a+b ight))}{Gamma ({ frac {1}{2}}left(1+a) ight)Gamma ({ frac {1}{2}}left(1+b ight))}}.}

Теорема Бейли выражается формулой:

2 F 1 ( a , 1 − a ; c ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 c ) Γ ( 1 2 ( 1 + c ) ) Γ ( 1 2 ( c + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + c − a ) ) . {displaystyle _{2}F_{1}left(a,1-a;c;{ frac {1}{2}} ight)={frac {Gamma ({ frac {1}{2}}c)Gamma ({ frac {1}{2}}left(1+c ight))}{Gamma ({ frac {1}{2}}left(c+a ight))Gamma ({ frac {1}{2}}left(1+c-a ight))}}.}

Запись других функций через гипергеометрическую

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

Примеры

• ( 1 + x ) n = F ( − n , b ; b ; − x ) {displaystyle left(1+x ight)^{n}=F(-n,b;b;-x)}
• x n = F ( − n , b ; b ; 1 − x ) {displaystyle x^{n}=Fleft(-n,b;b;1-x ight)}
• 1 x ln ⁡ ( 1 + x ) = F ( 1 , 1 ; 2 ; − x ) {displaystyle {1 over x}ln(1+x)=F(1,1;2;-x)}

1 x arcsin ⁡ ( x ) = F ( 1 2 , 1 2 ; 3 2 ; x 2 ) {displaystyle {1 over x}arcsin(x)=Fleft({frac {1}{2}},{frac {1}{2}};{frac {3}{2}};x^{2} ight)}

• e x = lim n → ∞ F ( 1 , n ; 1 ; x n ) {displaystyle e^{x}=lim _{n o infty }Fleft(1,n;1;{x over n} ight)}
• cos ⁡ x = lim a , b → ∞ F ( a , b ; 1 2 ; − x 2 4 a b ) {displaystyle cos x=lim _{a,;b o infty }Fleft(a,b;{frac {1}{2}};-{frac {x^{2}}{4ab}} ight)}
• cosh ⁡ x = lim a , b → ∞ F ( a , b ; 1 2 ; x 2 4 a b ) {displaystyle cosh x=lim _{a,;b o infty }Fleft(a,b;{frac {1}{2}};{x^{2} over 4ab} ight)}
• Полный эллиптический интеграл первого рода: K ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ = π 2 F ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) {displaystyle K(k)=int limits _{0}^{pi /2}!{frac {dvarphi }{sqrt {1-k^{2}sin ^{2}varphi }}}={frac {pi }{2}}Fleft({frac {1}{2}},{frac {1}{2}};1;k^{2} ight)}
• Полный эллиптический интеграл второго рода: E ( k ) = ∫ 0 π / 2 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ d φ = π 2 F ( − 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) {displaystyle E(k)=int limits _{0}^{pi /2}!{sqrt {1-k^{2}sin ^{2}varphi }},dvarphi ={frac {pi }{2}}Fleft(-{frac {1}{2}},{frac {1}{2}};1;k^{2} ight)}
• Полином Лежандра: P n ( x ) = F ( n + 1 , − n ; 1 ; 1 − x 2 ) {displaystyle P_{n}(x)=F(n+1,-n;1;{frac {1-x}{2}})}
• Присоединённая функция Лежандра: P n , m ( x ) = ( 1 − x 2 ) m 2 Γ ( n + m + 1 ) 2 m Γ ( n − m + 1 ) Γ ( m + 1 ) F ( n + m + 1 , m − n ; m + 1 ; 1 − x 2 ) {displaystyle P_{n,;m}(x)=(1-x^{2})^{frac {m}{2}}{Gamma (n+m+1) over 2^{m}Gamma (n-m+1)Gamma (m+1)}Fleft(n+m+1,m-n;m+1;{frac {1-x}{2}} ight)}
• Функции Бесселя: J ν ( x ) = lim a , b → ∞ [ ( x 2 ) ν Γ ( ν + 1 ) F ( a , b ; ν + 1 ; − x 2 4 a b ) ] {displaystyle J_{ u }(x)=lim _{a,;b o infty }left[{frac {left({dfrac {x}{2}} ight)^{ u }}{Gamma ( u +1)}}Fleft(a,b; u +1;-{frac {x^{2}}{4ab}} ight) ight]}
• Функция Куммера (Похгаммера), или вырожденная гипергеометрическая функция M ( a , c , z ) = 1 F 1 ( a , c , z ) = lim b → ∞ F ( a , b ; c ; z / b ) {displaystyle M(a,c,z)={}_{1}F_{1}(a,c,z)=lim _{b o infty }F(a,b;c;z/b)} является решением вырожденного гипергеометрического уравнения z d 2 w d z 2 + ( c − z ) d w d z − a w = 0. {displaystyle z{frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(c-z){frac {dw}{dz}}-aw=0.}
• Вырожденная гипергеометрическая функция с целым неположительным первым аргументом представляет собой обобщённый полином Лагерра: L n λ ( x ) = 1 F 1 ( − n , λ , x ) . {displaystyle L_{n}^{lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-n,lambda ,x).}

Тождества

• 27 ( z − 1 ) 2 ⋅ 2 F 1 ( 1 4 , 3 4 ; 2 3 ; z ) 8 + 18 ( z − 1 ) ⋅ 2 F 1 ( 1 4 , 3 4 ; 2 3 ; z ) 4 − 8 ⋅ 2 F 1 ( 1 4 , 3 4 ; 2 3 ; z ) 2 = 1 {displaystyle 27,(z-1)^{2}cdot {_{2}F_{1}}left({ frac {1}{4}},{ frac {3}{4}};{ frac {2}{3}};z ight)^{8}+18,(z-1)cdot {_{2}F_{1}}left({ frac {1}{4}},{ frac {3}{4}};{ frac {2}{3}};z ight)^{4}-8cdot {_{2}F_{1}}left({ frac {1}{4}},{ frac {3}{4}};{ frac {2}{3}};z ight)^{2}=1}
• И замечательный частный случай предыдущего выражения: 2 F 1 ( 1 4 , 3 4 ; 2 3 ; 1 3 ) = 1 4 2 − 4 3 + 4 3 + 4 − 2 − 4 3 − 2 {displaystyle _{2}F_{1}left({frac {1}{4}},{frac {3}{4}};,{frac {2}{3}};,{frac {1}{3}} ight)={frac {1}{sqrt {{sqrt {{frac {4}{sqrt {2-{sqrt[{3}]{4}}}}}+{sqrt[{3}]{4}}+4}}-{sqrt {2-{sqrt[{3}]{4}}}}-2}}}}