Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер

















Яндекс.Метрика





Правильный треугольник


Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства

Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

  • Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
r = 3 6 a {displaystyle r={frac {sqrt {3}}{6}}a}
  • Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
R = 3 3 a {displaystyle R={frac {sqrt {3}}{3}}a}
  • Периметр правильного треугольника:
P = 3 a = 3 3 R = 6 3 r {displaystyle P=3a=3{sqrt {3}}R=6{sqrt {3}}r}
  • Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:
h = m = l = 3 2 a {displaystyle h=m=l={frac {sqrt {3}}{2}}a}
  • Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
S = 3 4 a 2 = 3 3 4 R 2 = 3 3 r 2 = 3 36 P 2 {displaystyle S={frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}={frac {3{sqrt {3}}}{4}}R^{2}=3{sqrt {3}}r^{2}={frac {sqrt {3}}{36}}P^{2}}
  • Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:
R = 2 r {displaystyle R=2r}
  • Правильными треугольниками можно замостить плоскость.
  • В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.
  • Для равностороннего треугольника T группа движений (самосовмещений) плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов: трёх поворотов на углы 0, 2π⁄3 и 4π⁄3 вокруг точки O, а также трёх симметрий относительно трёх прямых, на которых лежат биссектрисы треугольника (последние являются также его высотами и медианами).
  • На описанной окружности произвольного треугольника A B C {displaystyle ABC} существуют ровно три точки такие, что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника A B C {displaystyle ABC} , причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.
  • Равносторонний треугольник является одновременно и равноугольным треугольником, то есть у него равны все внутренние углы.
  • Равносторонний треугольник является частными случаем равнобедренного треугольника, а именно: дважды равнобедренным треугольником.

Правильный сферический треугольник

Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.

Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его

  • Задача Наполеона
  • Прямая Симсона одно из свойств
  • Теорема Вивиани
  • Теорема Морли
  • Теорема Наполеона
  • Теорема Помпею
  • Теоремы Тебо 2 и 3
  • Точки Аполлония
  • Точки Торричелли