Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер

















Яндекс.Метрика





След (теория полей)


След (англ. Trace) — отображение элементов конечного расширения поля E ⊃ K {displaystyle Esupset K} в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение K степени n = [ E : K ] {displaystyle n=[E:K]} , α ∈ E {displaystyle alpha in E} — элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над полем K, этот элемент определяет линейное преобразование x ↦ α x {displaystyle xmapsto alpha x} . Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. След этой матрицы называется следом элемента α. Так как в другом базисе данному отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же следом, след не зависит от выбора базиса, то есть каждому элементу расширения однозначно сопоставляется его след. Он обозначается Tr K E ( α ) {displaystyle { ext{Tr}}_{K}^{E}(alpha )} или, если понятно, о каком расширении идёт речь, просто Tr ( α ) {displaystyle { ext{Tr}}(alpha )} .

Свойства следа

  • Tr ( α + β ) = Tr ( α ) + Tr ( β ) {displaystyle { ext{Tr}}(alpha +eta )={ ext{Tr}}(alpha )+{ ext{Tr}}(eta )}
  • Tr ( c α ) = c Tr ( α ) {displaystyle { ext{Tr}}(calpha )=c{ ext{Tr}}(alpha )} при c ∈ K {displaystyle cin K}
  • Если Е — сепарабельное расширение, то Tr K E {displaystyle { ext{Tr}}_{K}^{E}} — ненулевой функционал, если несепарабельно, то Tr K E = 0 {displaystyle { ext{Tr}}_{K}^{E}=0} .
  • След транзитивен, то есть для цепочки расширений K ⊂ E ⊂ F {displaystyle Ksubset Esubset F} имеем Tr K E ( Tr E F ( α ) ) = Tr K F ( α ) {displaystyle { ext{Tr}}_{K}^{E}({ ext{Tr}}_{E}^{F}(alpha ))={ ext{Tr}}_{K}^{F}(alpha )}
  • Если E = K ( α ) {displaystyle E=K(alpha )} — простое алгебраическое расширение и f ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 {displaystyle f(x)=x_{n}+a^{n-1}x_{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}} — минимальный многочлен α, то Tr K E ( α ) = − a n − 1 {displaystyle { ext{Tr}}_{K}^{E}(alpha )=-a_{n-1}}

Выражение следа через автоморфизмы E над K

Пусть σ1,σ2…σm — все автоморфизмы E, оставляющие неподвижными элементы K. Если E сепарабельно, то m равно степени [E:К]=n. Тогда для следа существует следующее выражение:

Tr K E ( α ) = σ 1 ( α ) + σ 1 ( α ) + … + σ m ( α ) {displaystyle { ext{Tr}}_{K}^{E}(alpha )=sigma _{1}(alpha )+sigma _{1}(alpha )+ldots +sigma _{m}(alpha )}

Если E несепарабельно то m≠n, но n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p: n=pim.

Тогда Tr K E ( α ) = ( σ 1 ( α ) + σ 1 ( α ) + … + σ m ( α ) ) m / n {displaystyle { ext{Tr}}_{K}^{E}(alpha )=(sigma _{1}(alpha )+sigma _{1}(alpha )+ldots +sigma _{m}(alpha ))^{m/n}}

Пример

Пусть K — поле действительных чисел, а E — поле комплексных чисел. Тогда след числа a + b i {displaystyle a+bi} равен 2 a {displaystyle 2a} . След комплексного числа можно вычислить по формуле Tr z = z + z ¯ {displaystyle { ext{Tr}};z=z+{ar {z}}} , и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение — единственный автоморфизм поля комплексных чисел.