Конус (топология)

Конус в топологии — топологическое пространство, получающееся из исходного пространства X {displaystyle X} стягиванием подпространства X × { 0 } {displaystyle X imes {0}} его цилиндра ( X × [ 0 , 1 ] {displaystyle X imes [0,1]} ) в одну точку, то есть, факторпространство ( X × [ 0 , 1 ] ) / ( X × { 0 } ) {displaystyle (X imes [0,1])/(X imes {0})} . Конус над пространством X {displaystyle X} обозначается C X {displaystyle mathrm {C} X} .

Если X {displaystyle X} — компактное подмножество евклидова пространства, то конус над X {displaystyle X} гомеоморфен объединению отрезков из X {displaystyle X} в выделенную точку пространства, то есть, определение топологического конуса согласуется с определением конуса геометрического. Однако топологический конус является более общей конструкцией.

Примеры

Конус над точкой p {displaystyle p} вещественной прямой — это интервал { p } × [ 0 , 1 ] {displaystyle {p} imes [0,1]} , конус над интервалом вещественной прямой — заполненный треугольник (2-симплекс), конус над многоугольником P {displaystyle P} — это пирамида с основанием P {displaystyle P} . Конус над кругом — это классический конус (с внутренностью); конус над окружностью — боковая поверхность классического конуса:

{ ( x , y , z ) ∈ R 3 ∣ x 2 + y 2 = z 2 ∧ 0 ⩽ z ⩽ 1 } {displaystyle {(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}mid x^{2}+y^{2}=z^{2}wedge 0leqslant zleqslant 1}} ,

гомеоморфная кругу.

В общем случае конус над гиперсферой гомеоморфен замкнутому ( n + 1 ) {displaystyle (n+1)} -мерному шару. Конус над n {displaystyle n} -симплексом — ( n + 1 ) {displaystyle (n+1)} -симплекс.

Свойства

Конус C X {displaystyle mathrm {C} X} может быть сконструирован как цилиндр постоянного отображения X → { 0 } {displaystyle X o {0}} .

Все конусы являются линейно связными, поскольку любую точку можно соединить с вершиной. Более того, любой конус является стягиваемым к вершине с помощью гомотопии, задаваемой формулой h t ( x , s ) = ( x , ( 1 − t ) s ) {displaystyle h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s)} .

Если X {displaystyle X} является компактным и хаусдорфовым, то конус C X {displaystyle mathrm {C} X} можно представить как пространство отрезков, соединяющих каждую точку X {displaystyle X} с единственной точкой; если X {displaystyle X} не является компактным или хаусдорфовым, то это не так, поскольку в общем случае топология на факторпространстве C X {displaystyle mathrm {C} X} будет тоньше, чем множество отрезков, соединяющих X {displaystyle X} с точкой.

В алгебраической топологии конусы широко применяются благодаря тому, что представляют пространства как вложения в стягиваемое пространство; в этой связи также важен следующий результат: пространство X {displaystyle X} стягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом своего конуса.

Конический функтор

Отображение X ↦ C X {displaystyle Xmapsto mathrm {C} X} порождает конический функтор — эндофунктор C : T o p → T o p {displaystyle mathrm {C} :mathbf {Top} o mathbf {Top} } над категорией топологических пространств T o p {displaystyle mathbf {Top} } .

Приведённый конус

Приведённый конус — конструкция над пунктированным пространством ( X , x 0 ) {displaystyle (X,x_{0})} :

C ( X , x 0 ) = ( X × [ 0 , 1 ] ) / ( ( X × { 0 } ) ∪ ( { x 0 } × [ 0 , 1 ] ) ) {displaystyle mathrm {C} (X,x_{0})={ig (}X imes [0,1]{ig )}/{ig (}(X imes left{0 ight})cup (left{x_{0} ight} imes [0,1]){ig )}} .

Естественное вложение x ↦ ( x , 1 ) {displaystyle xmapsto (x,1)} позволяет рассмотреть всякое пунктированное пространство как замкнутое подмножество своего приведённого конуса.