Приведённые гомологии

05.02.2021

Приведённые гомологии — незначительная модификация теории гомологий, позволяющая формулировать некоторые утверждения алгебраической топологии, как например двойственность Александера, без исключительных случаев.

Приведённые гомологии и когомологии обычно обозначающийся волной. При этом отличие от обычных гомологий проявляется только в нулевой размерности; то есть H 0 ( X ) = H ~ 0 ( X ) ⊕ Z {displaystyle H_{0}(X)={ ilde {H}}_{0}(X)oplus mathbb {Z} } и H n ( X ) = H ~ n ( X ) {displaystyle H_{n}(X)={ ilde {H}}_{n}(X)} для всех положительных n.

Цепной комплекс

В обычном определении гомологии пространства, строится по цепному комплексу

⋯ ⟶ ∂ n + 1 C n ⟶ ∂ n C n − 1 ⟶ ∂ n − 1 ⋯ ⟶ ∂ 2 C 1 ⟶ ∂ 1 C 0 ⟶ ∂ 0 0 {displaystyle dotsb {overset {partial _{n+1}}{longrightarrow ,}}C_{n}{overset {partial _{n}}{longrightarrow ,}}C_{n-1}{overset {partial _{n-1}}{longrightarrow ,}}dotsb {overset {partial _{2}}{longrightarrow ,}}C_{1}{overset {partial _{1}}{longrightarrow ,}}C_{0}{overset {partial _{0}}{longrightarrow ,}}0}

и определяются как факторы H n ( X ) = ker ⁡ ( ∂ n ) / i m ( ∂ n + 1 ) {displaystyle H_{n}(X)=ker(partial _{n})/mathrm {im} (partial _{n+1})}

Чтобы определить приведённые гомологии, следует воспользоваться тем же определением для дополненного цепного комплекса

⋯ ⟶ ∂ n + 1 C n ⟶ ∂ n C n − 1 ⟶ ∂ n − 1 ⋯ ⟶ ∂ 2 C 1 ⟶ ∂ 1 C 0 ⟶ ϵ Z → 0 {displaystyle dotsb {overset {partial _{n+1}}{longrightarrow ,}}C_{n}{overset {partial _{n}}{longrightarrow ,}}C_{n-1}{overset {partial _{n-1}}{longrightarrow ,}}dotsb {overset {partial _{2}}{longrightarrow ,}}C_{1}{overset {partial _{1}}{longrightarrow ,}}C_{0}{overset {epsilon }{longrightarrow ,}}mathbb {Z} o 0}