Дробь (математика)

04.02.2021

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы. По способу записи дроби делятся на два формата: обыкновенные вида ± m n {displaystyle pm {frac {m}{n}}} и десятичные вида 0,123 4 {displaystyle 0{,}1234} .

В математической записи дроби вида X / Y {displaystyle X/Y} или X Y {displaystyle {frac {X}{Y}}} число перед (над) чертой называется числителем, а число после черты (под чертой) — знаменателем. Первый играет роль делимого, второй — делителя.

Обыкновенные дроби с целыми числителями и ненулевыми знаменателями образуют поле рациональных чисел.

Виды дробей

Обыкновенные дроби

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде ± m n {displaystyle pm {frac {m}{n}}} или ± m / n , {displaystyle pm m/n,} где n ≠ 0. {displaystyle n eq 0.} Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

  • ½,
  • 1/2 или 1 / 2 {displaystyle ^{1}!/_{2}} (наклонная черта называется «солидус»),
  • выключная формула: 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} ,
  • строчная формула: 1 2 {displaystyle { frac {1}{2}}} .

Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби 3 5 {displaystyle {frac {3}{5}}} , 7 8 {displaystyle {frac {7}{8}}} и 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} — правильные, в то время как 8 3 {displaystyle {frac {8}{3}}} , 9 5 {displaystyle {frac {9}{5}}} , 2 1 {displaystyle {frac {2}{1}}} и 1 1 {displaystyle {frac {1}{1}}} — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1 {displaystyle 1} .

Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 {displaystyle 2{frac {3}{7}}=2+{frac {3}{7}}={frac {14}{7}}+{frac {3}{7}}={frac {17}{7}}} . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

1 2 / 1 3 {displaystyle {frac {1}{2}}{igg /}{frac {1}{3}}} или 1 / 2 1 / 3 {displaystyle {frac {1/2}{1/3}}} или 12 3 4 26 {displaystyle {frac {12{frac {3}{4}}}{26}}} .

Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом (знак + {displaystyle +} вне арифметических выражений обычно опускается):

± a 1 a 2 … a n , b 1 b 2 … {displaystyle pm a_{1}a_{2}dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}dots }

Пример: 3,141 5926 {displaystyle 3{,}1415926} .

Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Вообще говоря, для позиционной записи числа можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

P R = C ⋅ P C ⋅ R {displaystyle {frac {P}{R}}={frac {Ccdot P}{Ccdot R}}}

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

3 4 = 9 12 = 12 16 {displaystyle {frac {3}{4}}={frac {9}{12}}={frac {12}{16}}}

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

12 16 = 12 : 4 16 : 4 = 3 4 {displaystyle {frac {12}{16}}={frac {12:4}{16:4}}={frac {3}{4}}} — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4 {displaystyle 4} .

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме ± 1. {displaystyle pm 1.}

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

0 , 999... = 1 {displaystyle 0,!999...=1} — две разные дроби соответствуют одному числу.

Действия с дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: a b {displaystyle {frac {a}{b}}} и c d {displaystyle {frac {c}{d}}} . Порядок действий:

  • Находим наименьшее общее кратное знаменателей: M = [ b , d ] {displaystyle M=[b,d]} .
  • Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на M / b {displaystyle M/b} .
  • Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на M / d {displaystyle M/d} .

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M {displaystyle M} ). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M {displaystyle M} любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с большим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем 3 4 {displaystyle {frac {3}{4}}} и 4 5 {displaystyle {frac {4}{5}}} . H O K ( 4 , 5 ) = 20 {displaystyle mathrm {HOK} (4,5)=20} . Приводим дроби к знаменателю 20 {displaystyle 20} .

3 4 = 15 20 ; 4 5 = 16 20 {displaystyle {frac {3}{4}}={frac {15}{20}};quad {frac {4}{5}}={frac {16}{20}}}

Следовательно, 3 4 < 4 5 {displaystyle {frac {3}{4}}<{frac {4}{5}}}

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} + 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}} = 3 6 {displaystyle {frac {3}{6}}} + 2 6 {displaystyle {frac {2}{6}}} = 5 6 {displaystyle {frac {5}{6}}}

НОК знаменателей (здесь 2 {displaystyle 2} и 3 {displaystyle 3} ) равно 6 {displaystyle 6} . Приводим дробь 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} к знаменателю 6 {displaystyle 6} , для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3 {displaystyle 3} .
Получилось 3 6 {displaystyle {frac {3}{6}}} . Приводим дробь 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}} к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2 {displaystyle 2} . Получилось 2 6 {displaystyle {frac {2}{6}}} .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} — 1 4 {displaystyle {frac {1}{4}}} = 2 4 {displaystyle {frac {2}{4}}} — 1 4 {displaystyle {frac {1}{4}}} = 1 4 {displaystyle {frac {1}{4}}}

НОК знаменателей (здесь 2 {displaystyle 2} и 4 {displaystyle 4} ) равно 4 {displaystyle 4} . Приводим дробь 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} к знаменателю 4 {displaystyle 4} , для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2 {displaystyle 2} . Получаем 2 4 {displaystyle {frac {2}{4}}} .

Умножение и деление

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

a b ⋅ c d = a c b d . {displaystyle {frac {a}{b}}cdot {frac {c}{d}}={frac {ac}{bd}}.}

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 {displaystyle {frac {2}{3}}cdot 3={frac {6}{3}}=2}

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 . {displaystyle {frac {5}{8}}cdot {frac {2}{5}}={frac {10}{40}}={frac {1}{4}}.}

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

a b : c d = a b ⋅ d c = a d b c , b , c , d ≠ 0. {displaystyle {frac {a}{b}}:{frac {c}{d}}={frac {a}{b}}cdot {frac {d}{c}}={frac {ad}{bc}},quad b,c,d eq 0.}

Например:

1 2 : 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2 . {displaystyle {frac {1}{2}}:{frac {1}{3}}={frac {1}{2}}cdot {frac {3}{1}}={frac {3}{2}}.}

Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

1 2 = 5 10 = 0 , 5 {displaystyle {frac {1}{2}}={frac {5}{10}}=0{,}5} 1 7 = 0,142 857142857142857 ⋯ = 0 , ( 142857 ) {displaystyle {frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857dots =0{,}(142857)} — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

71,147 5 = 71 + 1475 10000 = 71 1475 10000 = 71 59 400 {displaystyle 71{,}1475=71+{frac {1475}{10000}}=71{frac {1475}{10000}}=71{frac {59}{400}}}

Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена как обыкновенная. Исключением являются периодические десятичные дроби, для которых такое представление всегда возможно.

Пример (см. также Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную). Преобразуем периодическую дробь 1 , 3 ( 142857 ) = 1 , 3   142857   142857   142857 … {displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3 142857 142857 142857dots } в обыкновенную дробь. 1 , 3 ( 142857 ) = 1 , 3 + 0 , 1 ⋅ 0 , ( 142857 ) . {displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1cdot 0{,}(142857).} Обозначим x = 0 , ( 142857 ) {displaystyle x=0{,}(142857)} , тогда 1000000 ⋅ x = 142857 + x , {displaystyle 1000000cdot x=142857+x,} откуда: 999999 x = 142857 , {displaystyle 999999x=142857,} или: x = 142857 999999 = 1 7 . {displaystyle x={frac {142857}{999999}}={frac {1}{7}}.} В итоге получаем: 1 , 3 ( 142857 ) = 1 , 3 + 0 , 1 x = 1 , 3 + 0 , 1 ⋅ 1 7 . = 13 10 + 1 70 = 92 70 = 1 11 35 . {displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1x=1{,}3+0{,}1cdot {frac {1}{7}}.={frac {13}{10}}+{frac {1}{70}}={frac {92}{70}}=1{frac {11}{35}}.}

История и этимология термина

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд.

Дроби вычислялись ещё в Древнем Египте. До наших дней сохранились математические источники о египетских дробях: Математический папирус Ринда (ок. 1650 год до н. э.), Египетский математический кожаный свиток (XVII век до н. э.), Московский математический папирус (ок. 1850 год до н.э.), Деревянная табличка из Ахмима (ок. 1950 год до н.э.).

В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «Математика в девяти книгах» (X-II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на пять веков раньше.

Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы, а затем, в XII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа 1 4 , 2 1 5 {displaystyle { frac {1}{4}},2{ frac {1}{5}}} записывались таким способом: 1 4 , 2 I 5 . {displaystyle {egin{smallmatrix}14end{smallmatrix}},{egin{smallmatrix}2mathrm {I} 5end{smallmatrix}}.} Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский). Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как 4 0 2   5 1   3 2 {displaystyle {overset {underset {0}{}}{4}}2~{overset {underset {1}{}}{5}}~{overset {underset {2}{}}{3}}} или 42 ⓪ 5 ① 3 ②, где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII века.

На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числами. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Обобщения

  • Кольцо частных
  • Рациональная функция — дробь, составленная из многочленов.