Унимодулярная матрица

04.02.2021

Унимодулярная матрица — квадратная матрица с целыми коэффициентами, определитель которой равен +1 или -1. Это в точности те невырожденные матрицы A, для которых уравнение Ax = b имеет целочисленное решение для любого целочисленного вектора b.

Свойства

Унимодулярные матрицы образуют группу по умножению, т.е. следующие матрицы являются унимодулярными:

  • Единичная матрица
  • Обратная к унимодулярной матрице
  • Произведение двух унимодулярных матриц

Вполне унимодулярная матрица

Прямоугольная матрица называется вполне унимодулярной (или абсолютно, или тотально унимодулярной), если все её миноры принимают значения из множества {-1, 0, +1}. Иными словами, любая её невырожденная квадратная подматрица унимодулярна.

Вполне унимодулярные матрицы играют важную роль в теории целочисленного линейного программирования: задачи линейного программирования с системой ограничений вида Ax = b, где A вполне унимодулярна, а b — целочисленный вектор, имеют целочисленные базисные допустимые решения, а значит, в частности, могут быть решены стандартным средством линейного программирования — симплекс-методом.

Некоторые примеры вполне унимодулярных матриц:

  • матрица инцидентности любого ориентированного графа;
  • матрица инцидентности двудольного неориентированного графа;
  • частный пример: [ − 1 − 1 0 0 0 + 1 + 1 0 − 1 − 1 0 0 0 + 1 + 1 0 − 1 0 0 0 0 + 1 + 1 − 1 ] . {displaystyle {egin{bmatrix}-1&-1&0&0&0&+1+1&0&-1&-1&0&0&+1&+1&0&-1&0&0&0&+1&+1&-1end{bmatrix}}.}

Унимодулярная полиномиальная матрица

Теоремы

Теорема1: Полиномиальная матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда все её инвариантные множители равны единице, т.е. когда она эквивалентна единичной матрице.

Теорема 2: Полиномиальная матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда она есть произведение матричных элементов.