Теория амёб

04.02.2021

Теория амёб — раздел комплексного анализа, изучающий геометрию алгебраических множеств. Находит широкое применение в алгебраической и тропической геометрии.

Определения

Пусть V {displaystyle V} — множество нулей полинома Лорана

p ( z ) = ∑ α ∈ A c α z 1 α 1 ⋅ … ⋅ z n α n , A ⊂ Z n , n ⩾ 1 {displaystyle p(z)=sum _{alpha in A}c_{alpha }z_{1}^{alpha _{1}}cdot ldots cdot z_{n}^{alpha _{n}},Asubset mathbb {Z} ^{n},ngeqslant 1} .

Амёбой A V {displaystyle {mathcal {A}}_{V}} алгебраического множества V {displaystyle V} называется его образ при логарифмическом проектировании

L o g : ( C ∖ { 0 } ) n → R n {displaystyle mathrm {Log} :(mathbb {C} setminus {0})^{n} o mathbb {R} ^{n}} ,

определяемом формулой L o g ( z ) = ( log ⁡ | z 1 | , … , log ⁡ | z n | ) {displaystyle mathrm {Log} (z)=(log |z_{1}|,ldots ,log |z_{n}|)} .

Коамёбой A V ∗ {displaystyle {mathcal {A}}_{V}^{*}} алгебраического множества V {displaystyle V} называется его образ при отображении

A r g : ( C ∖ { 0 } ) n → S 1 × … × S 1 {displaystyle mathrm {Arg} :(mathbb {C} setminus {0})^{n} o S^{1} imes ldots imes S^{1}} ,

определяемом формулой A r g ( z ) = ( arg ⁡ z 1 , … , arg ⁡ z n ) {displaystyle mathrm {Arg} (z)=(arg z_{1},ldots ,arg z_{n})} .

Свойства

Амёба и коамёба двойственные объекты — являются проекциями 2 π i {displaystyle 2pi i} -периодического множества L n V = { ζ : p ( e ζ 1 , … , e ζ n ) = 0 } {displaystyle mathrm {Ln} V={zeta :p(e^{zeta _{1}},ldots ,e^{zeta _{n}})=0}} на вещественное и мнимое подпространство. Теория амёб позволяет наглядно изучать геометрию гиперповерхностей и кривых, расположенных в 4-х и 6-и мерном пространстве ( C 2 {displaystyle mathbb {C} ^{2}} , C 3 {displaystyle mathbb {C} ^{3}} ), что явилось причиной бурного развития теории в начале XXI века.

Компоненты дополнения R n ∖ A V {displaystyle mathbb {R} ^{n}setminus {mathcal {A}}_{V}} всегда выпуклы.